弯曲的概念与梁的分类  二. 梁的内力分析  三. 纯弯曲时梁的正应力及正应力       强度条件  四. 梁的变形——梁弯曲时的位移 平面弯曲：当作用在梁上的所有横向力均作用 在梁的对称平面内时，则在梁发生弯曲变形后， 梁的轴线便在对称平面内弯成一条曲线。 一 梁横截面内的两种内力 1 从力的平衡看梁中的内力     RA=RB=P 外力RA    内力Q1: Q1=RA   梁在该截面上的剪力    矩M1： M1=RA x1   梁在该截面上的弯矩 根据弯矩的定义：    σ：横截面上距中性轴为y处的正应力 dA：横截面上距中性轴为y处的一微面积 y：正应力到中心轴的距离        剪力   弯矩        弯矩 ：          剪力：抵抗该截面一侧所有外力对该截面的剪切作用，大小应该等于该截面一侧所有横向外力之和。           弯矩：抵抗该截面一侧所有外力使该截面绕其  中性轴转动，大小应等于该截面一侧所有外力对  该截面中性轴取距之和。   计算弯矩法则：梁在外力作用下，其任意指定截面 上的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面中性轴取 矩的代数和；凡是向上的外力，其矩取正；向下的外 力，其矩取负值。 例：图中所示为简支梁，跨度l=1m，作用三个集中载荷，P1=500N,P2=1000N,P3=300N,a=0.25m，b=0.2m，P3作用在梁的中央。试作该梁的剪力图和弯矩图。 例：试求出图中的的Qmax与Mmax。 解： 1 支座反力  2 剪力方程  当       时                   时   3. 弯矩方程                    1、纯弯曲梁。弹性力学精确分析表明，当跨度 l  与横截面高度 h 之比 l / h   5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于剪力弯曲近似成立。   2、横截面不对称于中性轴的梁，上下表面的抗弯截 面模量不同。    例：一反应釜重30kN，安放在跨长为1.6m的两根横梁截面中央，若梁的横截面采用图所示的两种形状（其中矩形截面a/b=2），试确定梁的截面尺寸，并比较钢材用量。梁的材料为Q235-A,许用应力[σb]=120MPa。 解：从图可知：  最大弯矩：Mmax=RA·l/2=p·l/4=15000×1.6/4=6000kN 根据正应力强度条件  Mmax/W≤ [σb]可得 所需的最小抗弯截面模量为： W=Mmax/ [σb]=6000/（120×106）=50cm3   （2）当横截面采用矩形立放时 W=ba2/6=a3/(6×2)=a3/12=50cm3 a3=600cm3， a=8.4cm ， b=4.2cm 截面面积A=8.4×4.2=35.3cm2 每米的质量G=35.3×100×7.8×10-3=27.5kg/m  可得两种不同截面所需钢材质量比为： 矩形立放：矩形平放=27.5：43.8= 1：1.59  一 、梁的种类和支座种类 二、剪力和弯矩的计算 三、弯曲正应力的强度条件      解：由平面平行力系平衡条件可得：     RA×l  =  P1×（l－a）+P2×l/2 +P3 b  RA=500 ×0.75+1000 ×0.5 +300 ×0.2=935N  RB×l  =  P1 × a +P2×l/2 +P3（l － b）  RB=500 ×0.25+1000 ×0.5 +300 ×0.8=865N      分段列剪力方程：  AC段         0 x≤0.25m， Q=RA=935N=Q1   CD段         0.25m≤x≤0.5m,   Q=RA － P1=935 －500 = 435N = Q2  DE段         0.5m≤x 0.8m,   Q=RA－P1－P2 = 935－500－1000 = － 565N=Q3  EB段          0.8m≤x 1m, Q = RA －P1 －P2 －P3= 935 － 500 －1000 －300                                     = －865N=Q4 分段列弯矩方程，作弯矩图： AC段   0 x≤0.25m， M=RA·x=935x  x=0，M=0; x=0.25m，M=233.8N·m  CD段  0.25m≤x≤0.5m, M=RA·x－P1(x －0.25）=435x+125                                   x=0.25m，M=233.8N·m ; x=0.5，M=342.5N·m  DE段  0.5m≤x 0.8m, M=RA·x－P1(x －0.25）－P2(x－0.5）= －565x+625                                 x=0.5，M=342.5N·m ; x=0.8m，M=173N·m   EB段  0.8m ≤x 1m, M=RA·x－P1(x －0.25）－P2(x－0.5）－P3(x －0.8）                                      = －865x+865                                x=0.8m，M=173N·m ; x=1，M=0  第三节 纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件 弯矩M 弯矩计算法则 M= ∫ Aσ·y·dA 任意点σ σ与M的关系 最大弯曲正应力的计算式 建立强度条件 解决梁的弯曲强度问题  1、没有变形前 a1b1,a2b2两个平面平行，相距为dx。a1a2=b1b2=o1o2= dx  2、变形后 a1a2压缩，b1b2拉伸，o1o2不变，由直线变成曲线      一 变形分析 为曲率半径 为梁弯曲变形后的曲率 dx 1、几何关系 二 弯曲正应力公式的推导 横截面上点的线应变取决于该点距中性轴的距离和梁轴线在该截面形心处的曲率半径值 2、弯曲正应力的计算 虎克定理         梁在弯曲时，其横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比；距中性轴同一高度上的各点的正应力具有相同的数值。 3、曲率1/ρ与弯矩MZ的关系  轴惯性矩 该截面的弯矩为： 相对转角dθ/dx越大的横截面，弯矩 越大，反映截面转动与截面内力距的 关系             :抗弯刚度 4、 正应力的计算公式 WZ:横截面对中性轴z的抗弯截面模量 弯曲正应力公式的适用范围 常见截面的 IZ 和 WZ 矩形截面 5 常用截面的轴惯性矩和抗弯截面模量 空心圆截面 圆截面 弯曲正应力强度条件 1.等截面直梁，弯矩最大的截面上下边缘 3.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑 6. 弯曲正应力的强度条件 2.变截面梁要综合考虑    与     （1）当横截面采用矩形平放时  W=ab2/6=2b·b2/6=b3/3=50cm3  b3=150cm3，b=5.3cm，a=10.6cm  截面面积A=10.6×5.3=56.2cm2  每米的质量G=56.2×100×7.8×103=43.8kg/m 7 提高梁强度的主要措施 1. 降低 Mmax ： 合理安排支座 合理布置载荷 合理布置支座 合理布置载荷 F 2.增大 WZ ：  合理设计截面 合理放置截面 合理设计截面 合理放置截面 第四节 梁的变形——梁

第四章 梁弯曲变形与内力.ppt