* *                                       赠 言         凡事豫则立，不豫则废。言前定，则不跲；事前定， 则不困； 行前定，则不疚； 道前定，则不穷。                                                            子思《中庸》                                             解 释    豫 —— 预划； 跲（Jia）—— 窒碍    困 —— 困扰； 疚 —— 不安； 穷 —— 贫穷          第五章  平面图形的几何性质   (Geometrical properties of plane graph)  拉压正应力 扭转切应力 弯曲正应力 应力的计算通常用要到构件 截面的几何参数，例如： 统一为 m =0       零次矩(或面积 )    Moment of zero order m =1      一次矩、线性矩(或静矩 )  Moment of first order m =2      二次矩(或惯性矩、积)   Moment of second order  实质 —— 1、数学，不是力学                       2、颠倒了学科发展顺序                      （历史是：弯曲内力—弯曲应力—惯性矩） 目的 —— 1、翦除弯曲前面的拦路虎之一（惯性矩)                       2、从更高的观点，统一截面几何性质                    3、便于学习（弊病：只有大厦，无脚手架）   零次矩： 一次矩（静矩）： C(zc, yc) y o z dA 面积A 5.1 静矩（Statical moment)、 形   心(Centroid) 形心 C 的坐标： 1、为什么用z-y坐标而不是x-y坐标？ 2、为什么 对应于 而不是 [思考] 形心：使平面图形各微元静矩和为零的坐标原点 o z y dA C 对称图形形心的位置 有一个对称轴： 形心C位于该轴上 y C z        有两个对称轴： 两个对称轴的交点就 是形心C的位置 z y C C z y 对某点对称（中心对称）： 形心C位于对称中心 由 n 个规则形状组成的图形 y C z z y 组合（复合）图形的形心 已知b, c, t ，求C的坐标 c C z y C2 C1 b t t 0 C1、C2、C的坐标: 组合图形的形心算例 注1：由两块组成组合图形，其复合图形形心一定           位于两个子图的形心连线上 注2：组合图形形心计算公式也适用于负面积情况，           但要记住面积为负号 “负面积” z y C1 C2 C 惯性矩 惯性积 o z y dA 面积A z y 5.2    惯性矩（Moment of inertia)与惯性积(Product of inertia)            （ 二次矩，Moment of second order ） ——  质点Newton定律         对于平面图形，当密度取单位值时，dm = dA， 此时转动惯量就等于极惯性矩  你们是否遇到过二次矩？  推广到刚体，何种形式？  —— I 是什么？  转动惯量（Rotational inertia）：         力学问题中，有不同层次的 外因、内因—结果 关系 1、外力、受力物性能 — 运动响应 2、内力、截面量 — 变形响应（应力等）                         温故知新，我们进行类比              动力学                              材料力学 惯性矩、惯性积的性质 （1）惯性矩为正，即 （2）若图形有一对称轴，其惯性积为零 （3）任一点为原点的所有正交坐标系中，两个惯性矩之            和等于 不变的极惯性矩 Ip 值 （4）组合图形惯性矩（积）为各个子图惯性矩（积）之和 C z C C z z y y y C C 座标转动不改变极惯性矩 Z1 Y1 Z2 Y2 O A 例题5.4 [P133]   圆截面的惯性矩 设圆截面直径D，则圆方程为 z y 其他方法——1、书中微元    2、极惯性矩的一半                                      问题的提出        工程问题的许多截面（工字、丁字、槽形等）是简 单截面（如矩形）的组合，总惯性矩 = 分惯性矩之和， 而分惯性矩在 各自的 形心坐标系 中计算        将 分惯性矩 转换到 总形心坐标系 时，要考虑坐标 系转换的影响        分坐标系 与 总形心坐标系通常是 平行关系，于是 就抽象出惯性矩计算的 平行移轴 问题 5.3  平行移轴公式（平行轴定理 Parallel axis          theorem） 已知： 计算： o C(zc, yc) z y a b dA 面积A z1 —y1为形心坐标系 复习：形心的定义 同理 例        题 矩形1 矩形2 已知组合截面尺寸： 计算截面对轴 z 的惯性矩 b t h t z2 z1 z C1 C2 C y s 以（z2, y2)为基准坐标，则 确定移轴量（a, b) 矩形1到 z 轴的距离: 矩形2到 z 轴的距离: 由平行移轴定理 矩形1对 z 轴的惯性矩: 矩形2对 z 轴的惯性矩: 整个截面的惯性矩： b t h t z2 z1 z C C2 y s C1 z1 y1 O A z y H B C D E F G 如同平行移轴问题，转轴问题也很重要, 且对弯曲受力合理很关键             书上的推导 5.4    转轴公式（Formula of rotation of axes)、主惯性轴 (Principal axes) 和主惯性矩 (Principal moment of inertia) 坐标转换的矩阵形式 z1 y1 O A z y H B C D E F G 操作式的推导 用投影代替转动            《y 变 y1 的操作》 1、y（AF）向 y1  轴投影得 y1 + GF   2、再减去GF 得y1  z1 y1 O A z y H B C D E F G   《z 变 z1 的操作》 1、z（OF）向z1 轴投影得    z1 - GD   2、再加上GD 得z1                     [思考]  能否用复数推导？ C1，C 为复数（Complex number），i为虚单位 已知：截面对 y、z 轴的惯性矩、惯性积 求解：截面对y1、z1轴的惯性矩、惯性积 显然         创造的机遇——提出问题：因为角度对应坐标系， 在哪个坐标系中，惯性矩为极大（ 或极小）？         意义——对于给定的截面，选择坐标系使惯性矩 最大（抵抗弯曲的能力最强），避免惯性矩最小 说明取极大（或极小）惯性矩时                  惯性积等于零 由方程 确定两个相互垂直的轴   ——   主惯性轴 z1 y1 O z y        也就是说：1、对于给定的截面 坐标轴选择得恰当，惯性矩极大； 2

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