§13-5多自由度体系的自由振动 5.1 自由振动分析 * 一.运动方程的建立及其解 自由振动分析的目的是确定体系的动力特性.可不计阻尼。 1.建立运动方程 (1)刚度法 m1 m2 = + + m1 m2 或记作 其中 若为自由振动则有        ,于是: (2)柔度法 m1 EI l/3 l/3 l/3 m2 = 简记为 位移向量 柔度矩阵 荷载向量 质量矩阵 加 速 度 向 量 若为自由振动则有        ,于是: 简记为 设方程的特解为 2.运动方程的解 代入方程,得 经整理,得 ---振型方程 为寻求Y1、Y2的非零解，上式中的系数行列式必为零，于是有： ---频率方程 展开上式可得到一个关于   的二次方程 ---频率方程 展开 整理后有： ---与第一频率相对应的振型，简称第一振型 解频率方程得   的两个根 值小者记作 称作第一频率 也称作基本频率; 值大者记作 称为第二频率或高阶频率. 将   频率代入振型方程，注意到行列式等于零，振型方程中的两个方程是线性相关的，只有一个独立的方程： 同样处理将   频率代入振型方程 ---与第二频率相对应的振型，简称第二振型 ---频率方程 即 或记作 ---振型方程 解频率方程得   的两个根 将   频率代入振型方程 将   频率代入振型方程 特解1 特解2 值小者记作 称作第一频率 也称作基本频率; 值大者记作 称为第二频率或高阶频率. 通解 特解1 特解2 其中A1、A2是由初始条件确定的任意常数。 特解1也可写为 特解2也可写为 二.关于频率与振型的讨论 体系按特解振动时有如下特点 1)各质点同频同步; 2)任意时刻,各质点位移的比   值保持不变 定义:体系上所有质量按相同频率作自由振动时      的振动形状称作体系的主振型。 几点说明： 1.按振型作自由振动时，各质点的    速度的比值也为常数，且与位移    比值相同。 2.发生按振型的自由振动是有条件的. 3.振型与频率是体系本身固有的属性,    与外界因素无关. 几点说明： 1.按振型作自由振动时，各质点的    速度的比值也为常数，且与位移    比值相同。 2.发生按振型的自由振动是有条件的. 3.振型与频率是体系本身固有的属性,    与外界因素无关. 4.N自由度体系有N个频率和N个振型 频率方程 解频率方程得N个  从小 到大排列 依次称作第一频率,第二频率... 第一频率称作基本频率,其它为高 阶频率. 将频率代入振型方程 得N个振型 N个振型彼此之间是线性无关的. 5。若已知柔度矩阵时 6。求振型、频率可列幅值方程. 4。N自由度体系有N个频率和N个振型 频率方程 解频率方程得    的N,从小 到大排列 依次称作第一频率,第二频率... 第一频率称作基本频率,其它为高 阶频率. 将频率代入振型方程 得N个振型 N个振型是线性无关的. 振型方程 频率方程 按振型振动时 5。若已知柔度矩阵时 6。求振型、频率可列幅值方程. 振型方程 频率方程 按振型振动时 m1 m2 振型可看作是体系按振型振动时， 惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移 三.求多自由度体系频率、振型例题 例1.求图示体系的频率、振型 解 令 1 1 1 1 第一振型 第二振型 1 1 1 1 第一振型 第二振型 对称体系的振型分 成两组: 一组为对称振型 一组为反对称振型 1 1 1 1 第一振型 第二振型 对称系的振型分 成两组: 一组为对称振型 一组为反对称振型 按对称振型振动 =1 l/3 按反对称振型振动 1 1 第二振型 对称系的振型分 成两组: 一组为对称振型 一组为反对称振型 按对称振型振动 =1 l/3 按反对称振型振动 

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