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奥数第10讲[1][1].竞赛123班.教师版.doc
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更新时间:2012-03-23 08:28:16
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奥数第10讲[1][1].竞赛123班.教师版.doc介绍

数字谜问题被称作思维锻炼的体操,这一部分问题可以很好的培养学生的观察力、判断及推理能力。数字谜也是一类非常有趣的数学问题,在小学数学竞赛中经常出现。和数字谜问题类似的,数阵、数表问题由于其本身的数学美感,受出题者青睐,解这类问题必须认真审题,根据题目的特点,找出突破口,从而逐步简化题目直至问题完全解决。
回顾常用的数字谜的解题技巧。
精讲经典数字谜、及数阵数表。
在右边的算式中,相同的符号代表相同的数字,不△□□〇
+〇□□△
□□☆☆
        那么:口++△+☆=_________。
【分析】比较竖式中位与位的加法,+□”肯定进位,(否则由百位可知□=0),且有“□+□+1=10+□”,从而=9,☆=8再由个位加法,推知+△=8.从而口++△+☆=9+8+8=25。
【拓展】(年迎春杯初赛)在右边的竖式中,相同字母代表相同数字,不同字母代表不同数字,则四位数=______。
【分析】首先可以判断,所以,,可解得,又因为
所以,。
电子数字如图所示,图是由电子数字组成的乘法算式,但有一些模
    糊不清,请将图的电子数字恢复,并将它写成横式形式:。
,
⑵被乘数的十位和乘数只能是、、、,才有可能形如,首先排除
⑶如果被乘数十位是或,那么乘数无论是、或,都不可能乘出百位是的三位数。
所以被乘数十位是,相应得乘数是。
⑷被乘数大于,通过尝试得到符合条件的答案:。
在下面的乘法算式中,“”、“”、“”各代表一个互不相同的数字,求这个算式。            
【分析】这是集数字谜和填空格于一体的数字问题,从题面上看,提供的信息较少,“”所在的位置较多,紧紧抓住“”所在的位置特点,逐一突破。
可以判断“”,由“”可知,,因此“”=或。
⑴若“”,“”的乘数的百位数字必须大于且小于等于,所以“”,由于“”,可知“ ”,字是单数且小于,故“字”或,当“字”=时,,不符合条件,当“字”=时,,符合题意。
⑵若“”,同理,“”的乘积的百位数字必须大于且小于等于,所以“”=,由 ,可知“”=,但,不符合条件。所以满足条件的算式是:
【拓展】在算式:的六个方框中,分别填入,,,,,这六个数字,使算式成立,并且算式的积能被整除,那么这个乘积是_____。
【分析】先从个位数考虑,有,,,,再考虑乘数的百位只能是或,因此只有三种可能的填法:
,,,其中只有能被整除,所以这个积是。
在下图中的除法竖式中,相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字,那么被除数是多少?
【分析】显然的,由可知,不会超过,否则得到的乘积应该是位数,如果,那么也不能超过,所以只能是,这样的与矛盾,所以,所以,根据,可以尝试出时,等式成立,得到这些条件既可依次求得:,,,,所以被除数是。
(2008年迎春杯初赛)在右图的每个方框中填入一个数字,使得除法算式成立。则被除数应是___________。
【分析】如下图,我们将空格标上字母,以便分析。
由,得。因为,所以,我们可以得知或者,我们现来看看可以不可以。
假设,则没有进位,所得个位必是偶数,必是,因为,所以,必进位。所以,必是奇数。
因为, 所以,可能是,,,,,。通过试值,逐个排除。
这里应用到倒除法,例:
说明:,再结合算式中其它部分,例如继续计算:,
在算式中,出现矛盾。所以,不成立。
           假设,分别将至代入进行计算,我们会发现,
若、、、、、,会发现第一次除法后的余数都大于除数,所以可以排除;
若,得,,进而得到,,,因为的结果是一个两位数,所以或者,当的时候,,而没有借位,所以结果最大为,产生矛盾,故,进而推出,,,符合题目要求,被除数为;
若,由第一次除法可以推出,或者,但是无论还是,都无法满足的结果为位数,所以排除;
若,则,,因为,找不到满足这个等式的整数,所以可以排除;
综上所述,,的时候满足题目中的式子,被除数为。
(2008年迎春杯决赛)将数字至分别填入右边竖式的方格内使算式成(每个数字恰好使用一次),那么加数中的四位数最
【分析】三个加数的个位数字之和可能是,;十位数字之和可能是,,;百位数字之和可能是,,,其中只有。要使加数中的四位数最,十位填,此时另两个加数的百位只能填,;四位数,另两个加数的十位可填,,个位可填,,符合条件,所以加数中的四位数最。
将填下图的中,使得任意两个相邻的数之和,,的倍数        
【分析】的两边只能是与,的两边只能是与.因为在,,三个数中,与,都不能相邻,所以有下面四种
因为处是,所以只有第图可得符合题意的一种填如图大、中、小三个正方形组成了个三角形,现在把、、、四个数分别填在大正方形的四个顶点;再把、、、分别填在中正方形的四个顶点上;最后把、、、分别填在小正方形四个顶点上:能不能使个三角形顶点上数字之和都相?
⑵能不能使个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能,请画图填        
【分析】⑴不能.如果这个三角形顶点上数字之和都相等,设它们都等于            考察外面的个三角形,每个三角形顶点上的数的和是,在它们的和中,大正方形的、、、各出现一次,中正方形的、、、各出现二次即        ∴,
            但是三角形每个顶点上的数都是偶数,和不可能是奇数,因此这个三角形顶点上数字之和不可能相等.
   个三角形顶点数字之和分别是:
、、、、、、、。
【拓展】将,,,,,,,,这个数分别填人右图的个○中,使条边上的○中的数之和都相等。请分别求出满足上述条件的最大的和与最小的和。 
【分析】设三个顶点○内所填的数为,,,每条边上的和为,三个顶点上的数在求和时各用了次,所以条边上的三数之和相加得
;
由于所得的和必须能被整除,而,所以的和应被除余,的最小值是,最大值是,所以的最小值是,最大值是。
一列自然数 ,,,,,,从第二个数开始,每一个都比它前一个大,最后,现在将这列自然数排成以下数表:
0	3	8	15	……		1	2	7	14	……		4	5	6	13	……		9	10	11	12	……		…	…	…	…	……		在数表中位于第行列。
第行的第个数是。        第行的第个数是,第列的第个数是
    。
    。在第行第列。
0	1	2	3	4								
【分析】每一空格填一个数,共有个空格,各个数出现的次数综合应该为,即第二行所填的五数之和为,即第二行所填无数之和是,将拆分有以下几种方法:
;
;  
;
;
将这几种拆分方法,按各个数字出现频数填入表格,可以发现,只有不会出现矛盾,填法如下:
0	1	2	3	4		2	1	2	0	0		
将最小的个合数填到图中所示表格的个空格中,要求满足以下条件:
        1)填入的数能被它所在列的第一个数整除;
        2)最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大;
        那么,最后一行中个数的和最小可能是_______。
2	3	4	5	6														
【分析】最小的个合数分别是,,,,,,,,,。
这个合数当中和一定是在的下面,、、、一定是在和下面,剩下的、、、在或下面,其中一定在的下面,对和所在的列和和所在的列分别讨论。、、、,这四个数中最大的数一定在最后一行,最小的数一定在第二行,所以和所在的列中最后一行的数的和最小是,当、在下面,和在下面时成立。、、、,这四个数中最大的数一定在最后一行,最小的数一定在第二行,所以和所在的列中最后一行的数的和最小是,当和在下面,和在下面时成立。所以最后一行的个数的和是。
下表一共有六行七列,第一行与第一列上的数都已填好,其他位置上的每个数都是它所在行的第一列上的数与所在列的第行上的数的积,如格应填的数是,求表中除第一行和第一列外其他各个格上的数之和。
0	9	11	13	15	3	19		8								12								14								10			A					16								
【分析】第二行上除去第一列的数的和为,
第三行上除去第一列的数的和为,
,
最后一行除去第一列后所有数的和为。
根据乘法分配率,将这些式子相加可得到所有要求的格子上的数和为
。
将自然数到分别填在右图的圆圈内,使得途中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等。
【分析】。从左下角引出的条直线,设左下角的数为,每条直线上的三个数的和为,则,又由三条横线及左下角引出的一条斜线得,从而结合上面的式子得,,由于只有种方式拆分成两个数的和(即),,,,,,均没有种方式拆成两个数的和,所以在对角线上,小正方形的顶点处只能填或,经试验不难得出两个如图的解。
在下面的残缺算式中,只写出五个,那么这个算式的商数是______。
【分析】为了便于说明,用英文来表示几个关键的数。
        从除式的第一层看,商的百位数字是,只能是,,,。
        第三层被除数的百位数字明显是,因此第二层中的大于。这样可以断定,。
        如果,那么一层中也是。但不是的倍数。所以。
        我们现在来看的情形。由于能被整出,由倒除法可以断定除数是,。
第三层,因为,只有满足要求,即。从而,。所以这个算式的商数是。被除数是。
完整的除式如图。
下图是一个正确的加法算式,其中相同的字母代
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