第七讲
    染色与操作问题
掌握染色问题的分析思路和典型的染色方法；
理解操作问题的解题方法。
这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法。染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案。这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法。
六年级一班全班有名同学，共分成排，每排名同学各为什么划一个的方格表，其中每一个方格表示一个座位将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座个黑格个右图是学校素质教育成邻的展室之间都有门相通有一个人打算从室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到室，问他的目的能否达采用染色法共有个展览室，对个出扇门必至黑室，再由黑室走第个展览室，再，共走过扇门扇门，必至黑室，所以无法回到原来的白室[巩固]  有一次车展共个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?
[分析]  如右下图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格。由于入口处和出口处都是白格，而路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多个，而实际上白格、黑格都是个，故不可能做到不重复走遍每个展室。
右图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马。众所周知，马是走“日”字的。请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？
马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个●。因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在○点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有个点，所以不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。
讨论：如果马的出发点不是在○点上而是在●点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的。但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就不一样了。从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它个点，要跳步，是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指○或●）。因为步跳过的点○与点●各个，所以起点必是●，终点也是●。也就是说，当不要求回到出发点时，只要从●出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点。
右图是由个大小相同的方格组成的图形。试问能不能剪裁成个由相邻两方格组成的长方形？
将这个小方格黑白相间染色（见右下图），有个黑格，个白格。相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成个小长方形，那么个格应当是黑、白各个，与实际情况不符，所以不能剪裁成个由相邻两个方格组成的长方形。
用个个的大正方形的正方形黑白相染色后，发现白黑，个则盖住白黑则盖住了白黑或黑白，个，白个白格个黑格，故不可能按盖白黑或黑白，个这种形状盖住的不一定是白黑或黑白，因为可能一部分盖白黑，另一部分盖黑白。这是一个容易犯错的地方。
[前铺]  能否用个所示的卡片拼成一个的棋盘？
[分析]  不能。将的棋盘黑白相间染色（见右图），有个黑格。而每张卡片盖住的黑格数只能是或者，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，不可能盖住个黑格。
[巩固]  如右图，缺两格的方格有个格，能否用个图不重复地盖住它且不留空隙?
[分析]  这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一。用来覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑。要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数应该相等。但从染色后整个图来看，黑格个，白格个，故不可能将整个图不重不漏地盖住。
用若干个和的小正方形能不能拼成一个的大正方形？请说明理由。
如右图所示，将或的小正方形沿格线摆在右图的任何位置，必定盖住偶数个阴影方格，而阴影方格共有个，是奇数，所以只用和的小正方形，不可能拼成的大正方形。
[拓展]  个正方形和个长方形能不能拼出的大正方形?请说明理由。
[分析]  若仍然将的大正方形黑白相间染色，则和两种形状盖住的都是两白两黑。必须寻找其他的染色方法。新的方法必须使得和长方形无论放在何处，都分别符合一定的规律。采用如右图的染色方法，则：长方形必盖住两黑两白，共个，盖住黑白；长方形可盖住白黑或黑白。可以发现，总共只能盖住黑白或白黑，而图中实际有个黑格个白格，故不可能用个和个的长方形盖住的大正方形。对区域染色也可理解为对多个方格染色，但此时方格染色范围更广，染色方案更加灵活。
对于任意一个自然数，当为奇数时，加上；当为偶数时，除以这算一次操作现在对连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现？为什么？
这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到，但也不能肯定得不到当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现因为这一过程很长，所以这不是好方法和都是的倍数，不是的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是的倍数不是的倍数，所以不可能出现刀，竖着剪刀，裁成尽可能大的形状大小一样的张长方形纸片。再把这样的一张长方形纸片裁成尽可能大的面积相等的小正方形纸片。如果小正方形边长为厘米，那么大正方形纸片的面积应为多少平方厘米？说明理由。
大正方形纸片被横着裁成份，竖着裁成份，所以裁成的长方形纸片的长宽比为，若将这样的纸片切割成尽可能大的正方形纸片，则正方形纸片边长应该为长方形纸片长、宽的公约数，而，所以长方形纸片的宽是小正方形纸片的边长的倍，，所以长方形纸片宽厘米，大正方形纸片边长为厘米。所以大正方形纸片的面积为平方厘米。
能否把台电话中的每台电话恰好与其它台相连？
如果我们可以把个电话或个电话做到每台电话与个电话相连接，我们可以将分成个一组的共组以及个一组的共组。如下图，每个点代表一台电话，每条线段表示其两个端点为相连接的两台电话，左图为台电话的情形，右图为台电话的情形。所以我们可以把台电话中的每台电话恰好与其它台相连。
下图是八间房子的示意图，相邻两间房子都有门相通。从点穿过房间到达处，如果只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？
只有一个口，只能选择进；有两种选择，可以选择进也可以选择进，所以有种走法；依此类推，每间房间的走法种数如下：。所以从点开始有（种）。
右图是一个的方格盘。先将其中的个方格染黑，然后按以下规则继续染色：如果某个格与两个黑格都有公共边，就将这个格染黑。这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？
开始时染黑个方格，这个方格的总周长不会超过，以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格有公共边，所以染黑后，所有黑格的总周长不会增加。也就是说，所有黑格的总周长永远不会超过，而方格盘的周长是，所以不能将整个方格盘都染成黑色。
 如图，图的方格中交替填满了和，图是从图中任意位置截、、三种图形，并对每种图形进行操作：每个小方格同时加或同时减，如此反复多中的格中的数字应该
此题似乎脱离了染色问题，问的是数字，但注意到图中和的交方格(如图)，则，白格。而题中的三方格必占白黑，的方格必白黑，黑白格数都相同再想到对它们的或减，因黑白格数相中这个差也应和图，中：黑格数字和白格数字和中：黑格数字和一白格数字和，得[分析]  将的方格进行黑白相间染色，如右图所示，每个小格同时加或减，因黑白格数相等，那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差，由图⑴知这个差是，由图⑵可知：白格数之和黑格数之和，所以。
用个的长方形拼成的正方形本题若用传统的自然染色法，不能解决问题。因为要用来覆盖我们对正方形为了方便、、、分别代表四种颜色为了使每个长方形在任何位置盖住的都一样，我们采用沿对角线染色，如图这样，可以发现无论将长方形放于何处，盖住的必然、、、各一个要不重叠地拼出，需长方形，则必然盖住、、、各个但个、个、个、个，因而不可能用个长方形拼出正方形
有一批商品，每一件都是长方体形状，尺寸是。现有一批现成的，问：不?
采用如右图的染色方法。每件的商品必占个白的小立方体个黑的小立方体在整个大正方体中，(个)的黑正方体共：(个)(个)的小立方体黑白总数不等，而每件的商品能占的黑白小立方体个数相同，故枚硬币，其中有枚枚伪币，伪币和真币的重量不同枚硬币，如果进行称重的枚硬币在天平两边各个如果这时天平两边重量相等的话，就说
        如果天平两边重量不相等的话，就是说伪币个硬币中可以拿出其中比较轻的个这时同样还是把他们分成两个枚，分
        如果两边重量相等，说明这个硬币都是真个中，因此伪币就应个比较轻的硬币中，显然伪币就应该
        同样道理，也可以把比较重的那个硬币分进行称重，同样也可以得出结论，希望
        本题实际上不要求棋子数必须是，只要去掉一个棋子后剩下的棋子可以被分成后是的倍数就可以了，比如，等等都可以个房?
如图所示，将房间黑白相间染色，发现有个白格，个格因为每次才能不重复，但图
中黑格比白格多个，无法实现
将个小正方形剪裁成个相同的长方形，就是将图
奥数第7讲[1][1].竞赛123班.教师版.doc