常用的巧算和速算方法  
    【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。例如著名的大 
数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”题，可以计算为  
    所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100  
    =101×100÷2  
    =5050。  
    又如，计算“3+5+7+………＋97+99=？”，可以计算为  
    所以，3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×49÷2= 2499。  
    这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。张丘建 
利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题：  
    “今有女子不善织，日减功，迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。 
问织几何？”  
    题目的意思是：有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些， 
并且减少的数量都相等。她第一天织了5尺布，最后一天织了1尺，一共织了 
30天。问她一共织了多少布？  
    张丘建在《算经》上给出的解法是：  
    “并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。”“答曰：二匹一丈”。  
    这一解法，用现代的算式表达，就是  
    1匹=4丈，1丈=10尺，  
    90尺=9丈=2 匹1丈。（答略）  
    张丘建这一解法的思路，据推测为：  
    如果把这妇女从第一天直到第30天所织的布都加起来，算式就是  
    5＋…………＋1  
    在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要 
递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。  
    若把这个式子反过来，则算式便是  
    1+………………＋5  
    此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个 
相同的数。同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。  
    假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等” 
这一特点，那么，就会出现下面的式子：  
    所以，加得的结果是6×30=180（尺）  
    但这妇女用30天织的布没有180尺，而只有180尺布的一半。所以，这妇 
女30天织的布是  
    180÷2=90（尺）  
    可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。  
    【分组计算】一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的方法，往往可 
以使它很快地解答出来。例如  
    求1到10亿这10亿个自然数的数字之和。  
    这道题是求“10亿个自然数的数字之和”，而不是“10亿个自然数之和”。 
什么是“数字之和”？例如，求1到12这12 个自然数的数字之和，算式是  
    1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1+1＋2=5l。  
    显然，10亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也 
极费时间（很多年都难于算出结果）的。怎么办呢？我们不妨在这10亿个自然 
数的前面添上一个“0”，改变数字的个数，但不会改变计算的结果。然后，将 
它们两两分组：  
    0和999，999，999；1 和999，999，998；  
    2和999，999，997；3 和999，999，996；  
    4和999，999，995；5 和999，999， 994；  
    ……… ………  
    依次类推，可知除最后一个数，1，000，000，000以外，其他的自然数与 
添上的0共10亿个数，共可以分为 5亿组，各组数字之和都是81，如  
    0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=81  
    1+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81  
    ………………  
    最后的一个数1，000，000，000不成对，它的数字之和是1。所以，此题 
的计算结果是  
    （81×500，000，000）＋1  
    =40，500，000，000＋1  
    =40，500，000，001  
    【由小推大】 “由小推大”是一种数学思维方法，也是一种速算、巧算技巧。 
遇到有些题数目多，关系复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题 
目特点，找出一般规律，再推出题目的结果。例如：  
    （1）计算下面方阵中所有的数的和。  
    这是个“100×100”的大方阵，数目很多，关系较为复杂。不妨先化大为小， 
再由小推大。先观察“5×5”的方阵，如下图（图4.1）所示。  
    容易看到，对角线上五个“5”之和为25。  
    这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图4.2那样拼 
接，那么将会发现，这五个斜行，每行数之和都是25。所以，“5×5”方阵的 
所有数之和为25×5=125，即53=125。  
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    于是，很容易推出大的数阵“100×100”的方阵所有数之和为100 =1，000， 
000。  
    （2）把自然数中的偶数，像图4.3那样排成五列。最左边的叫第一列，按 
从左到右的顺序，其他叫第二、第三……第五列。那么2002出现在哪一列：  
    因为从2到2002，共有偶数2002÷2=1001（个）。从前到后，是每8个偶 
数为一组，每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列，后四个偶数分别在 
第四、三、二、一列（偶数都是按由小到大的顺序）。所以，由1001÷8=125………… 
1，可知这1001个偶数可以分为125组，还余 1个。故2002应排在第二列。  
    【凑整巧算】用“凑整方法”巧算，常常能使计算变得比较简便、快速。例 
如  
    （1）99.9+11.1=（90＋10）+（9+1）＋（0.9+0.1）  
    =111  
    （2）9＋97＋998＋6=（9+1）＋（97＋3）＋（998＋2）  
    =10＋100＋1000  
    =1110  
    （3）125＋125＋125＋125＋120＋125＋125＋125  
    =155＋125＋125＋125＋（120+5）＋125＋125+125-5  
    =125×8-5  
    =1000-5  
    =995  
    【巧妙试商】除数是两位数的除法，可以采用一些巧妙试商方法，提高计算 
速度。  
    （1）用“商五法”试商。  
    当除数（两位数）的10倍的一半，与被除数相等（或相近）时，可以直接 
试商“5”。如70÷14=5，125÷25=5。  
    当除数一次不能除尽被除数的时候，有些可以用“无除半商五”。“无除” 
指被除数前两位不够除，“半商五”指若被除数的前两位恰好等于（或接近）除 
数的一半时，则可直接商“ 5”。例如1248÷24=52，2385÷45=53  
    （2）同头无除商八、九。  
    “同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。“无除”仍指被除数前两位 
不够除。这时，商定在被除数高位数起的第三位上面，再直接商8或商9。  
    5742÷58=99，4176÷48=87。  
    （3）用“商九法”试商。  
    当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数，且前三位数字临时组成的数 
与除数之和，大于或等于除数的10倍时，可以一次定商为“9”。  
    一般地说，假如被除数为m，除数为n，只有当9n≤m＜10n时，n除 m的商 
才是9。同样地，10n≤m＋n＜11n。这就是我们上述做法的根据。  
    例如4508÷49=92，6480÷72=90。  
    （4）用差数试商。  
    当除数是11、12、13…………18 和19，被除数前两位又不够除的时候，可 
以用“差数试商法”，即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方 
法。若差数是1或2，则初商为9；差数是 3 或4，则初商为8；差数是 5或6， 
则初商为7；差数是7 或8，则初商是6；差数是9时，则初商为5。若不准确， 
只要调小1就行了。例如1476÷18=82（18 与 14差4，初商为8，经试除，商8 
正确）；1278÷17=75（17与12的差为5，初商为7，经试除，商7正确）。  
    为了便于记忆，我们可将它编成下面的口诀：  
    差一差二商个九，差三差四八当头；  
    差五差六初商七，差七差八先商六；  
    差数是九五上阵，试商快速无忧愁。  
   【恒等变形】恒等变形是一种重要的思想和方法，也是一种重要的解题技巧。 
它利用我们学过的知识，去进行有目的的数学变形，常常能使题目很快地获得解 
答。例如  
    （1）1832＋68=（1832-32）＋（68+32）  
    =1800＋100  
    =1900  
    （2）359.7-9.9=（359.7+0.
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