三年级 春季     第九讲   等差数列综合运用                                               程雪 
                   第九讲：等差数列的综合应用  
一、等差数列的相关概念  
项：首项、中项、末项  
项数：就是等差数列一共有多少个数  
公差：相邻两数之间的差  
二、基本公式  
1、通项公式:什么时候用？——知道首项和公差，求某一项  
                        第 n 项=首项+公差×（n-1）  
辅助记忆：五指法 （指头是项，空是公差，公差个数比项数少 1，第 2项是第 1项加 1个公 
                 差，第 3项是第 1项加 2个公差，第 5项是第一项加 4个公差……）  
2、项数公式：什么时候用？——知道首项、末项及公差，求项数  
                        项数=（末项-首项）÷公差+1  
辅助记忆：小魔豆吃肉 （先算它一共吃了多少肉，再看吃了多少天，别忘了最后要加 1天）  
3、求和公式 （高斯公式）：什么时候用？——任何一个等差数列求和  
                        和=（首项+末项）×项数÷2  
4、中项公式：什么时候用？——对于容易找到中项的等差数列求和  
                               和=中项×项数  
注意：（1）对于项数为奇数的等差数列，很好用  
         如：2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 8×7 = 56  
    （2）对于项数为偶数的等差数列，可以假设出一个中间数  
         如：2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 9×8 = 72  
    假设出中间数是（8+10）÷2= 9  
    （3）要熟悉运用逆向思维：已知等差数列的和，就能很方便求出中项（或假设的中项）  
         如：一个等差数列共有 5个数，和是 100。那么中项就是 100÷5=20  
    （4）根据求和公式和中项公式的联系：（首项+末项）÷2 = 中项 
5、等差数列中任意两项的差  
                         第 n 项-第 m 项=公差×（n-m）  
三、讲义例题讲解  
1、运用公式进行计算  
例 3  对于数列 4、7、10、13、16、19……，第 10 项是多少？49 是这个数列的第几项？第 
100 项与第50 项的差是多少？  
解析：题目告诉的是一个等差数列，那就看问的是什么，用相应的公式求解即可。  
                                                         三年级春季（六级下）9·1  
三年级 春季     第九讲   等差数列综合运用                                               程雪 
第一问，问的是某一项，用通项公式：4+3×（10-1）=31  
第二问，49是第几项，其实就是问这个数列写到 49 一共写了多少项。  
       用项数公式：（49-4）÷3+1=16  
第三问，某两项之间的差：3×（100-50）=150  
 （提高）学案1  把 210 拆成 7 个自然数的和，使这 7 个数从小到大排成一行后，相邻两个 
数的差都是 5，那么，第 1 个数与第 6 个数分别是多少？ 
解析：对于枯燥抽象的题，同学们可以用画图形象地把条件表示出来。本题画图如下： 
           +5       +5     +5       +5       +5     +5 
                               210 
知道这 7 个数组成了递增的等差数列，和是 210，很容易能算出中项（其实就是平均数）， 
中项（第4 项）：210 ÷7=30 
第 1 项（与第 4 项相差 3 个公差）：30-3 ×5=15 
第 6 项（与第 4 项相差 2 个公差）：30+2 ×5=40 
 （尖子）学案2  在 1~100 这一百个自然数中，所有不能被 9 整除的数的和是多少？ 
解析：不能被 9 整除的数太多了，也不是等差数列。那反过来想，能被 9 整除的数是等差 
数列，用 1~100 的和，减去能被 9 整除的数的和，就是所要求的和啦。 
1~100 的和：（1+100）×100÷2=5050 
能被 9 整除的数的和：（9+18+27+……+99）=9 ×（1+2+3+……+11）=9 ×66=594 
最终结果：5050-594=4456 
例 4 100 个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是 8450，取出其中第 1 个，第 3 个…… 
第 99 个，再把剩下的 50 个数相加，得多少？ 
解析：  
方法一：100 个连续自然数是公差为 1 的等差数列，拿走第 1 个，第 3 个……第 99 个，剩 
下的 50 个数是一个公差为 2 的等差数列，要求和，只要知道其中的首项和末项，就可以用 
求和公式了。怎么算出其中的首项呢？  
8450÷100=84.5（这是假设的中项）由此可推出第 50 个数是84，第51 个数是 85  
这 100 的数的第 1 个数应该是 84-49=35  
剩下的 50 个数应该是 36、38、40……最后一个是 36+2×（50-1）=134  
求和：（36+134）×50÷2=4250  
注：当然也可以用 8450÷50 得到第 1 个数与第 100 个数的和是 169，进而用和差公式求出 
第 1个数为（169-99）÷2=35。  
方法二：想象这 100 个数分成了两队——单数项队和双数项队，每队都是 50 个数，双数项 
队每一个数都比对应的单数项队大 1，所以双数项队的和比单数项队的和大 50，而两队之和 
就是 8450，直接用和差公式得到结果：（8450+50）÷2=4250，这种方法是不是更简单呢？  
2、与数列有关的应用题  
                                                          三年级春季（六级下）9·2  
三年级 春季     第九讲    等差数列综合运用                                               程雪 
例 5 一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，第一排有 10 个座位，第二排有 12 个 
座位，第三排有 14 个座位，……最后一排有 210 个座位，那么剧院中间一排有多少个座位 
呢？这个剧院一共有多少个座位呢？  
解析：本题问中间排有多少座位，说明一定有中间排（即排数是单数）。  
      中项=  （首项+末项）÷2=  （10+210）÷2=110  （个） 
第二问，要求和，已经算出了中项，只要再求出项数就可以用中项公式了。 
排数：（210-10 ）÷2+1=101  （排） 
总数：110×101=11110  （个） 
3、规律型问题 
例 6  把自然数按下面形式排列，它的第一行是 1、2、4、7……问第一行的第 100 个数是几？ 
解析：  
                            1   2   4   7   11  … 
                            3   5   8   12  …      
                            6   9   13  …          
                           10  14  …               
                           15  …                   
                           …                       
方法一：直接看第一行，发现规律如下 
                 1，   2，   4，   7，   11…… 
                  +1    +2     +3     +4         
那么第 100 项=1+1+2+3+4+……+99=1+  （1+99）×99÷2=4951 
方法二：找到数表的规律，连续的自然数按照一斜行一斜行的方式在继续的。第一斜行是 1 
个数，第二斜行是 2 个数，以此类推，第一行的第 100 个数是第 100 斜行的第 1 个数，那 
它前面应该有 99 个斜行，即前面有 1+2+3+4+……+99=  （1+99）×99÷2=4950  （个） 
那么第一行的第 100 个数应该是 4950+1=4951 
 （尖子）学案 4  用 3 根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图所 
示铺满一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底边放 10 根火柴，那么一共要放 
多少根火柴？ 
解析： 
方法一：水平方向有火柴 1+2+3+……+10=55  （根） 
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