典型的应用题  主讲人：吕建国 常见应用题的分类： 归一问题 归总问题 和差问题 和倍问题 差倍问题 平均数问题 植树问题 盈亏问题  年龄问题 鸡兔同笼 周期问题 还原问题 数字与数位 包含排除问题 牛吃草问题  归一归总问题 例1：分摊路费问题 甲、乙两人乘一辆出租车从某地到游泳馆去(无起步价),行驶到一半路程时,遇见一位同学,3人合乘到游泳馆,最后司机收费13.5元。如果按照合理的方法分摊车费,后上的同学应付多少元?  解析：可以把路费五等分，前一半路程甲乙付，后一半路程三人平分。那么后上的同学应付费为13.5÷5=2.7元。   例2：拼钱买面包 甲、乙、丙三人在外出时买了8个面包，平均分给三个人吃，甲没有带钱，乙付了5个面包的钱，丙付了3个面包的钱。后来，甲带来了他应付的四元八角钱，请问，应还给乙、丙各多少钱？ 解答过程如下： 8个面包的总钱：48×3=144（角） 一个面包的价钱：144÷8=18（角） 乙付了：18×5=90（角）?? 甲应还乙：90－48=42（角） 丙付了：18×3=54（角）?? 甲应还乙：54－48=6（角） 和差倍分问题 例3：和倍问题 弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍？ 例4：差倍问题 甲、乙两人存款若干元,甲存款是乙存款的3倍,如果甲取出240元,乙取出40元,甲、乙存款数正好相等.问甲原有存款多少元,乙原有存款多少元？ 【解析】： 兄弟两人的总数是不变的可看成是“3份量”如下图所示；                                   【解答】：（1）兄弟俩共有课外书的数量是20＋25＝45。（2）哥哥给弟弟若干本课外书后，兄弟俩共有的倍数是2＋1＝3。（3）哥哥剩下的课外书的本数是45÷3＝15。（4）哥哥给弟弟课外书的本数是25－15＝10。答：哥哥给弟弟10本课外书。 【解析】：甲存款是乙的3倍,乙是1倍数,甲、乙相差数(240-40)元,也是原来的相差数,正好等于原有存款的(3-1)倍。图示:【解答】：乙原存款数:(240-40)÷(3-1)=100(元)；                    甲原存款数:100×3=300(元) 平均数问题 例5：平均分 某次考试，小英等7人的平均分是78分，其中最高得分是97分，最低得分是64分，小英得了88分，余下的4个人中有3个人得了相同的分数.分数各不相同的5个人的平均分是80分，其中还有一位同学与别人的得分都不同，他的得分是多少分？ 【解答】：7个人的分数总和是：78×7=546（分）.分数各不相同的5个人平均分是80分，那么另2位分数相同的同学每人得分是：（546-80×5）÷2=73（分）.这位与别人的得分都不相同的同学，他的得分是：546-97-64-88-73×3=78（分）. 植树问题 例6：直线型植树问题 学校召开运动会前,在100米直跑道外侧每隔10米插一面彩旗,在跑道的一端原有一面彩旗还需备多少面彩旗?  【解析】：此题是植树问题中植树线路不封闭的一种,并要求植树线路的一端要植树.那么全长、棵数、间隔长三量之间的关系是: 棵数=全长÷间隔长； 全长=间隔长×棵数； 间隔长=全长÷棵数只要知道其中两个,就可以求出第三个量.100米是全长,10米是间隔长,求棵树. 【解答】：列式是:100÷10=10(面)  盈亏问题 例7：盈亏问题—盈 刘阿姨给小朋友分苹果，如果每人分3个苹果，则多16个苹果，如果每人分5个苹果，则正好分完，那么刘阿姨买了多少个苹果，分给几个小朋友？ 【点拨】：列出已知条件：每人3个    多16个（盈）每人5个    正好分完因为人数和苹果总数不变，从两次分配中我们可以知道，第二种分配方案比第一种分配方案多分16个，为什么会多分16个苹果呢？因为第二种分配方案每人分的比第一种每人分的多2个，多少人才能多16个呢？用16÷2=8（人），可知有8个小朋友，那么苹果数为8×3+16=40（个）或5×8=40（个）【解答】：（1）小朋友有多少人？16÷（5-3）=8（人）（2）苹果有多少个？5×8=40（个）或3×8+16=40（个） 例8：盈亏问题（2）—亏 学校买来一些故事书，每班发16本，正好分完，每班发18本，少40本，则买故事书多少本？分给几个班？  【点拨】：列出已知条件：每班16本     正好分完每班18本      少40本（不足）因为书本数和班数是不变的，从两次分配方案中我们可以知道，第一种分配方案比第二种分配方案少40本，为什么会少40本呢？是因为第一次分配每班分的比第二次每班分的少2本，多少班才能相差40本呢？用40÷2=20（个），即共有20个班，共买多少本书呢？16×20=320（本）或18×20-40=320（本）【解答】：（1）共有多少个班？  40÷（18-16）=20（个）（2）共有多少本书？20×16=320（本）或20×18-40=320（本） 年龄问题  例9：简单的年龄问题 哥哥5年前的年龄等于7年后弟弟的年龄,哥哥4年后的年龄与弟弟3年前的年龄和是35岁,求兄弟二人今年的年龄? 【点拨】：根据题意看图,我们可以知道35岁为粗线表示的部分.如果我们把弟弟7年后的年龄作为1倍量,那么哥哥5年前的年龄也是1倍量.只要我们找到这两倍量所对应的数量,就可以先求出1倍量,使问题得解.【解答】：35+3+7-5-4=36(岁)36÷2=18(岁)18-7=11(岁)14+5=23(岁) 鸡兔同笼  例10：简单的鸡兔同笼问题 一个农夫有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，问鸡、兔各有多少?  【解析】：鸡兔同笼问题适用的基本方法是假设法。假设这笼里全是鸡，那么鸡脚的总数应为：50×2=100(只)，与实际相比较，脚减少的数为140—100=40(只)。脚减少的原因是每把一只兔当作一只鸡时，要少4–2=2(只)脚。所以实际的兔数是40÷(4–2)=20(只)，若先假设的全是鸡，则先求出的是兔数。【解答】：设全是鸡，那么相应的鸡脚数：50×2=100(只) 与实际相比，脚减少的数：140–100=40(只)兔脚与鸡脚的差：4–2=2(只)实际兔数为：40÷2=20(只)那么实际的鸡数：50–20=30(只) 例11：复杂的鸡兔同笼问题 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现在这三种小虫共21只，有140条腿和24对翅膀，求每种小虫各几只？  【解析】：此题中出现了3种昆虫，不仅有腿的比较，而且又出现了翅膀，显然比前几道题复杂了。解此题的关键就是将3种昆虫转化为2种昆虫，这样解起来就比较容易了。 突破口在于：蝉和蜻蜓都有6条腿。 【解答】：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目考虑，可以把昆虫分成「8条腿」和「6条腿」两种，利用基本关系式算出8条腿的蜘蛛数=(140－6×21)÷(8－6)=(140－126)÷2 =14÷2 =7(只)。 因此，知道了6条腿的昆虫共有 21－7=14(只)，也就是蜻蜓和蝉共有14只。因为蜻蜓和蝉共有24对翅膀，现在再用一次基本关系式，得蝉数=(14×2－24)÷(2－1)=(28－24)÷1=4(只)。因此，蜻蜓数是14－4=10(只)。  周期问题 例12：周期问题（1） 在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？  【解析】：因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色.6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会出现循环,每一周的长度是30厘米,如下图所示.由图示可知长1厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第1周期中,6-5=1,55-64=max.book118.com后长1厘米的短木棍共有7段.【解答】：2[(100-10) ÷30]+1=23+1=7(段) 还原问题  例13：还原问题（1） 小明的爷爷今年年龄减去7后，除以9，再加上2，最后乘10，恰好是100岁，小明爷爷今年多少岁？  [解析]从最后一个条件恰好是100岁，向前推算，乘10后是100岁，那没有乘10前应是100÷10=10（岁）；加上2之后是10岁，那没加2之前应是10-2=8（岁）；除以9后是8岁，那没除以9之前应是8×9=72（岁）；减去7后是72岁，那没减7之前是72+7=79（岁）。所以，小明爷爷今年是79岁。 列式为：（100÷10-2）×9+7=79（岁）。 数字与数位问题 例14：数字交换问题 一个两位数的两个数字之和是9，将这个两位数的十位上与个位上的数字交换，得到一个新的两位数（称为原数的倒转数）。如果原来的两位数比新的两位数多45，原来的两位数是多少？  【解析】：倒转后数字对应数位相应的倍率；【解答】：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为，依据题意可得；                                                       包含排除问题  例15：容斥问题 求从1到2010中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数. 牛吃草问题  例16：简单的牛吃草问题 牧场上的青草每周都在长，假设每周长的一样多，如果这片牧场可供24头牛吃6周，20头牛吃10周，那么这片牧场可供18头牛吃多少周？ 【解析】因为牧草是在长的，所以我们先计算出牧草每周长多少。把1头1天吃的草当成1份：　　24头牛6周吃了：1×24×6=144（份）　　20头牛10周吃了：1×20×10=200（份）　　同一片牧场上原有草量是一样
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