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人教版小学三年级数学第18讲 能被2,5整除的数的特征.doc
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更新时间:2012-03-01 09:25:28
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人教版小学三年级数学第18讲 能被2,5整除的数的特征.doc介绍

?第18讲 能被2,5整除的数的特征
  同学们都知道,自然数和0统称为(非负)整数。同学们还知道,两个整数相加,和仍是整数;两个整数相乘,乘积也是整数;两个整数相减,当被减数不小于减数时,差还是整数。两个整数相除时,情况就不那么简单了。如果被除数除以除数,商是整数,我们就说这个被除数能被这个除数整除;否则,就是不能整除。例如,
  84能被2,3,4整除,因为84÷2=42,84÷3=28,84÷4=21,42,28,21都是整数。
  而84不能被5整除,因为84÷5=16……4,有余数4。也不能被13整除,因为84÷13=6……6,有余数6。
  因为0除以任何自然数,商都是0,所以0能被任何自然数整除。
  这一讲的内容是能被2和5整除的数的特征,也就是讨论什么样的数能被2或5整除。
  1.能被2整除的数的特征
  因为任何整数乘以2,所得乘数的个位数只有0,2,4,6,8五种情况,所以,能被2整除的数的个位数一定是0,2,4,6或8。也就是说,凡是个位数是0,2,4,6,8的整数一定能被2整除,凡是个位数是1,3,5,7,9的整数一定不能被2整除。
  例如,38,172,960等都能被2整除,67,881,235等都不能被2整除。
  能被2整除的整数称为偶数,不能被2整除的整数称为奇数。
  0,2,4,6,8,10,12,14,…就是全体偶数。
  1,3,5,7,9,11,13,15,…就是全体奇数。
  偶数和奇数有如下运算性质:
  偶数±偶数=偶数,
  奇数±奇数=偶数,
  偶数±奇数=奇数,
  奇数±偶数=奇数,
  偶数×偶数=偶数,
  偶数×奇数=偶数,
  奇数×奇数=奇数。
例1在1~199中,有多少个奇数?有多少个偶数?其中奇数之和与偶数之和谁大?大多少?
分析与解:由于1,2,3,4,…,197,198,199是奇、偶数交替排列的,从小到大两两配对:
  (1,2),(3,4),…,(197,198),
  还剩一个199。共有198÷2=99(对),还剩一个奇数199。所以
  奇数的个数=198÷2+1=100(个),
  偶数的个数=198÷2=99(个)。
  因为每对中的偶数比奇数大1,99对共大99,而199-99=100,所以奇数之和比偶数之和大,大100。
  如果按从大到小两两配对:
  (199,198),(197,196),…,(3,2),那么怎样解呢?
例2(1)不算出结果,判断数(524+42-429)是偶数还是奇数?
(2)数(42□+30-147)能被2整除,那么,□里可填什么数?
(3)下面的连乘积是偶数还是奇数?
  1×3×5×7×9×11×13×14×15。
解:根据奇偶数的运算性质:
(1)因为524,42是偶数,所以(524+42)是偶数。又因为429是奇数,所以(524+42-429)是奇数。
(2)数(42□+30-147)能被2整除,则它一定是偶数。因为147是奇数,所以数(42□+30)必是奇数。又因为其中的30是偶数,所以,数42□必为奇数。于是,□里只能填奇数1,3,5,7,9。
(3)1,3,5,7,9,11,13,15都是奇数,由1×3为奇数,推知1×3×5为奇数……推知
  1×3×5×7×9×11×13×15
  为奇数。因为14为偶数,所以
  (1×3×5×7×9×11×13×15)×14为偶数,即
  1×3×5×7×9×11×13×14×15为偶数。
  由例2得出:
(1)在全部是加、减法的运算中,若参加运算的奇数的个数是偶数,则结果是偶数;若参加运算的奇数的个数是奇数,则结果是奇数。
(2)在连乘运算中,只要有一个因数是偶数,则整个乘积一定是偶数。
例3在黑板上先写出三个自然数3,然后任意擦去其中的一个,换成所剩两个数的和。照这样进行100次后,黑板上留下的三个自然数的奇偶性如何?它们的乘积是奇数还是偶数?为什么?
解:根据奇偶数的运算性质知:
  第一次擦后,改写得到的三个数是6,3,3,是“二奇一偶”;
  第二次擦后,改写得到的三个数是6,3,3或6,9,3或6,3,9,都是“二奇一偶”。
  以后若擦去的是偶数,则改写得到的数为二奇数之和,是偶数;若擦去的是奇数,则改写得到的数为一奇一偶之和,是奇数。总之,黑板上仍保持“二奇一偶”。
  所以,无论进行多少次擦去与改写,黑板上的三个数始终为“二奇一偶”。它们的乘积
  奇数×奇数×偶数=偶数。
  故进行100次后,所得的三个自然数的奇偶性为二奇数、一偶数,它们的乘积一定是偶数。
  2.能被5整除的数的特征
  由0×5=0,2×5=10,4×5=20,6×5=30,8×5= 40,…可以推想任何一个偶数乘以5,所得乘积的个位数都是0。
  由1×5=5,3×5=15,5×5=25,7×5=35,9×5= 45,…可以推想,任何一个奇数乘以5,所得乘积的个位数都是5。
  因此,能被5整除的数的个位数一定是0或5。也就是说,凡是个位数是0或5的整数一定能被5整除;凡是个位数不是0或5的整数一定不能被5整除。例如,870,6275,1234567890等都能被5整除,264,3588等都不能被5整除。
例4由0,3,5写成的没有重复数字的三位数中,有哪些能被5整除?
解:因为个位数为0或5的数才能被5整除,所以由0,3,5写成的没有重复数字的三位数中,只有350,530,305三个数能被5整除。
例5下面的连乘积中,末尾有多少个0?
  1×2×3×…×29×30。
解:因为2×5=10,所以在连乘积中,有一个因子2和一个因子5,末尾就有一个0。连乘积中末尾的0的个数,等于1~30中因子2的个数与因子5的个数中较少的一个。而在连乘积中,因子2的个数比因子5的个数多(如4含两个因子2,8含三个因子2),所以,连乘积末尾0的个数与连乘积中因子5的个数相同。连乘积中含因子5的数有5,10,15,20,25,30,这些数中共含有七个因子 5(其中25含有两个因子5)。所以,1×2×3×…×29×30的积中,末尾有七个0。
?练习18
  1.在20~200的整数中,有多少个偶数?有多少个奇数?偶数之和与奇数之和谁大?大多少?
  2.不算出结果,直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数:
  (1)1+2+3+4+5;
  (2)1+2+3+4+5+6+7;
  (3)1+2+3+…+9+10;
  (4)1+3+5+…+21+23;
  (5)13-12+11-10+…+3-2+1。
  3.由4,5,6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数?
  4.两个质数之和是13,这两个质数之积是多少?
  5.下面的连乘积中,末尾有多少个0?
  20×21×22×…×49×50。
  6.用0,1,2,3,4,5这六个数码组成的没有重复数字的两位数中,能被5整除的有几个?能被2整除的有几个?能被10整除的有几个? 
显示答案 

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