第十四讲  面积计算
计算图形的面积要用面积公式，对于一些复杂的图形有意识地运用运动变化的观点，将平面图形简单地变动位置，可以化繁为简，化难为易，从而获得最佳解法。
例1：（如图一）已知三角形ABC的面积为1，BE=2AB，BC=CD，求三角形BDE的面积。
分析  利用已给的线段间的比例关系、已给的三角形的面积以及三角形的面积公式，设法把三角形BDE划分成一些与三角形ABC的面积成相应比例的三角形，这样，三角形BDE的面积就能求得了。
解：见图二，连结CE，对于三角形ABC与三角形BEC，分别把A B和BE看成底，那么它们的高相等。此外，BE=2AB，根据三角形面积公式S=ah可知，
      S△BED=2S△ABC=2
显然，三角形BEC和三角形CED是两个等底（BC=CD）、等高的三角形，因此
      S△CED=S△BEC=2
这样，S△BDE=S△BEC＋S△CED=4
例2：求图三中阴影部分的面积（大圆直径为2，单位：厘米）。
        图 三                      图 四
分析  解题时可以先将图形下半部分翻转拼接为图四，然后将图中的小圆移至中心。从图中不难看出求原图中阴影部分的面积就是求一个圆环的面积。
解：大圆半径：2÷2=1（厘米）
    小圆半径：1÷2=0.5（厘米）
    阴影面积：3.14×(12－0.52)=2.355（平方厘米）
答：阴影部分的面积是2.355平方厘米。
例3：如下图，在图中三角形ABE、ADF和四边形AECF的面积相等，求三角形AEF的面积。
分析  三角形AEF的面积等于四边形AECF的面积减去三角形ECF的面积，因为长方形ABCD的面积等于三角形ABE、ADF和四边形AECF的面积和，而这三者的面积又相等，所以四边形AECF的面积等于长方形面积的。由于长方形ABCD的长、宽分别为9厘米和6厘米，因此很容易求出它的面积，所以解题的关键在于求出三角形ECF的面积。
根据三角形面积公式S=ah，已知三角形ABE的面积等于长方形面积的，又知道AB=6厘米，可以求出BE的长度。知道BE的长度就可以求出EC的长度。同理可以求出FC的长度。这样三角形ECF的面积可以求出，使问题得解。
解：长方形ABCD的面积：9×6=54（平方厘米）
四边形AECF及三角形ABE、AFD的面积相等，是：
    54×=18（平方厘米）；
EC的长度：9－18×2÷6=3（厘米）
FC的长度：6－18×2÷9=2（厘米）
三角形AEF的面积：
18－3×2÷2=15（平方厘米）。
答：三角形AEF的面积是15平方厘米。
例4：如下图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等，求扇形所在的圆面积。
分析  因为△ABC是等腰直角三角形，
所以AC=BC，∠A=∠B=45°。
因为S甲=S乙，即S△ABC的面积等于以AE为半径，圆心角是45°的扇形面积。根据已知条件，可求出三角形ABC的面积从而可求出圆面积。
解：三角形ABC的面积：=50（平方厘米）；
周角是45°圆心角的几倍？360÷45=8；
圆面积：50×8=400（平方厘米）。
答：扇形所在的圆面积是400平方厘米。
例5：如下图，从一个正方形的木板上锯下宽为米的一块长方形木条以后，剩下的面积是平方米。问锯下木条的面积是多少平方米？
分析  利用一种称之为“弦图”的求面积的方法，用“弦图”计算面积最主要的是掌握“弦图”的特点。其一：大正方形边长=长方形长x＋长方形宽y。其二：小正方形的边长=长方形的长x－长方形的宽y。解题时先把四个面积为的长方形（即题中锯下一木条后剩下的那个长方形）拼成一个正方形（如下图）。由于每个长方形的长比宽长米，所以中间小正方形边长是米，从而可求出拼成后正方形的总面积，进而确定正方形的边长。
解：拼成后大正方形的面积：
（平方米）	
大正方形的边长：
∵ =（）2，∴ 大正方形的边长为米。
长方形的长（即长方形木条的条）：
∵ 长＋宽=（米），长－宽=（米），
∴ 长=（＋）÷2=（米）
锯下木条的面积：×=（平方米）。
答：锯下木条的面积是平方米。
例6：一块长方形钢板，长截下4分米，宽截下1分米后，成了一块正方形钢板，面积比原来减少了49平方分米。原来长方形钢板的面积是多少平方分米？
分析  初看起来，图中长方形长和宽，正方形的边长都不知道，无法求出长方形的面积，能否用特殊的方法思考呢？审题后发现长方形的长、宽和面积都和正方形有关系。图中阴影部分，如果添一条“辅助线”，如下页图（1）或图（2），把它分解成两个长方形。以下页图（2）为例，记正方形的边长为x分米，带阴影的小长方形长为（x＋4）分米，宽为1分米，带阴影的大长方形长为x分米，宽为4分米。“面积比原来（长方形）减少了49平方分米”，也就是大长方形阴影部分面积＋小长方形阴影部分面积=阴影部分总面积=49平方分米，用方程解。
解：设正方形边长为x分米。
    （x＋4）×1＋4x=49
           x＋4＋4x=49
                 5x=45
                  x=9
9×9＋49=130（平方分米）
答：长方形钢板面积为130平方分米。
例7：ABCD为任意四边形，其中AE=AB，BF=BC，CG=CD，DH=DA，连结E、F、G、H。求四边形EFGH的面积与四边形ABCD的面积之比。
解：连结ED和BD，得知S△AEH=S△AED
S△AED=S△ADB，所以
S△AEH=×S△ABD=S△ABD，
同理，S△CGF=S△BCD，
因此，S△AEH＋S△CGF=（S△ABD＋S△BCD）=S□ABCD，
同理，S△BFE＋S△DHG=S□ABCD，
所以，S△AEH＋S△CGF＋S△BFE＋S△DHG=S□ABCD。
所以，S□EFGH=（1－）S□ABCD= S□ABCD
即四边形EFGH的面积：四边形ABCD的面积=5：9。
例8：如图，已知三角形ABC三条高必定交于一点，如记成P点，请你讲明为什么成立？
分析与解答  从图中可以看出，△PBC和△ABC是同底的两个三角形，它们的面积之比等于它们对应高的比，所以
S△PBC：S△ABC=PD：AD，同理可得：
S△PCA：S△ABC=PE：BE，S△PAB：S△ABC=PF：CF
所以S△PBC：S△ABC＋S△PCA：S△ABC＋S△PAB：S△ABC
    =
又因为S△PBC＋S△PCA＋S△PAB=S△ABC
因此。
习  题  十  四
下图是一个圆心角为45°的扇形，其中直角三角形BOC的直角边为6厘米，求阴影部分面积。
在下图中，阴影部分甲的面积比阴影部分乙的面积大10.5平方厘米，求线段BC的长度。
一个直径为10厘米的圆，圆内有一个扇形，扇形的弧长为3.14厘米，求扇形的面积。
下图中，大正方形面积比小正方形面积多24平方米，求小正方形的面积是多少？
用同样的长方形条砖，在一丛花的周围镶成一个正方形边框，边框的周长为264厘米，里边小正方形的面积为900平方厘米。问每块长方形条砖的长和宽各是多少厘米？

五上华数 第十四讲面积计算.doc