第一讲  数的整除问题
    数的整除性是数论的基础内容，学生能否熟练掌握该内容对以后进一步深入学习数论至关重要.
本讲需要教授的内容有：
1、掌握并熟练运用能被2、3、4、5、6、9、11等整除的自然数性质，这类知识在（Ⅰ、Ⅱ类）题中运用很多.
2、训练学生对自然数的快速分解，记住并会运用几个特殊数（111、1001等）的分解情况对于解决（Ⅲ类）有很大的帮助.
3、自然数乘法末位数规律.
4、基础好的学生还应该掌握分式的化简方法.
1．整除——约数和倍数
一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b = c，即整数a除以整数b（b≠0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b︱a。否则，称为a不能被b整除（或b不能整除a）。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或因数）。
2．数的整除性质
性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
3．数的整除特征
能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。
能被5整除的数的特征：个位是0或5。
能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
能被11整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
部分特殊数的分解
    111=3×37；   1001=7×11×13；    11111=41×271；    10001=73×137；
1995=3×5×7×19；     1998=2×3×3×3×37；     2007=3×3×223；             2008=2×2×2×251；   2007+2008=4015=5×11×73;     10101=3×7×13×37.
【例1】（全国希望杯数学邀请赛）若四能被15整除，则a代表的数字是．接连重复地写下去，共写1993个，所得的数恰是91的倍数，求 =？
【例3】如果有一个九能被72整除，试求A、B两数的差(大)． (2003年能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C分别是多少？
【例6】 求能被26整除的六位数。
【例7】(2005年全国小学数学奥林匹克竞赛)如果能被11整除,那么n最小值是_____.
【例8】(1998年香港圣公会小学数学奥林匹克竞赛)一个六位数,前四位是2857,即2857??,这个六位数能被11和13整除,请你算出后两位数.
【例9】(2001年全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)?+91=?中,已知?盖住的是一个能被9整除的两位数,?盖住的是7的倍数,问?盖住的数是多少?
被13除，余数是多少？
分数裂项求和方法总结
用裂项法求型分数求和
分析：因为＝（n为自然数）
     所以有裂项公式：
求的和。
用裂项法求型分数求和
分析：型。（n,k均为自然数）
因为
所以
计算
用裂项法求型分数求和
分析：型（n,k均为自然数）
＝＝
所以＝
求的和
  用裂项法求型分数求和
     分析：（n,k均为自然数）
计算：
用裂项法求型分数求和
分析：（n,k均为自然数）
计算：
用裂项法求型分数求和
   分析：（n,k均为自然数）
计算：
（七）用裂项法求复合型分数和（例题略）
例题详解
基本概念和知识点
教学目标

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