小学数学奥数基础教程(六年级)30讲
比较分数的大小
　　同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
　　对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：
　　分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；
　　分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
　　第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
　　由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。
　　1.“通分子”。
　　当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
　　如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
　　2.化为小数。
　　这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
　　3.先约分，后比较。
　　有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
　　4.根据倒数比较大小。
　　5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，
　　6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况：
　　（1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。
　　（2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。
　　前一个差比较小，所以m＜n。
　　（3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。
　　注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。
　　（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。
　　利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。
　　比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。
练习1
　　1.比较下列各组分数的大小：
答案与提示
小学数学奥数基础教程(六年级)30讲
巧求分数
　　我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。
数。
　　分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减1就变成分子加、减1，这样就可以用例1求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。
个分数。
　　分析与解：因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法求解。
，这个分数是多少？
　　分析与解：如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：
　　这个分数是多少？
　　于是与例3类似，可以求出
　　在例1～例4中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化，那么会怎样呢？
　　数a。
　　分析与解：分子减去a，分母加上a，（约分前）分子与分母之和不变，等于29+43=72。约分后的分子与分母之和变为3+5=8，所以分子、分母约掉
45-43=2。
求这个自然数。
同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是45，新分数约分后变
　　例7 一个分数的分子与分母之和是23，分母增加19后得到一个新分数，
分子与分母的和是1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除以42÷6=7得到
　　分析与解：分子加10，等于分子增加了10÷5=2（倍），为保持分数的大小不变，分母也应增加相同的倍数，所以分母应加
8×2=16。
　　在例8中，分母应加的数是
　　在例9中，分子应加的数是
　　由此，我们得到解答例8、例9这类分数问题的公式：
　　分子应加（减）的数=分母所加（减）的数×原分数；
　　分母应加（减）的数=分子所加（减）的数÷原分数。
　　分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解答。
　　（2x+2）×3=（x+5）×4，
　　6x+6=4x+20，
　　2x=14，
　　x=7。
练习2
　　是多少？ 
答案与提示
　　5.5。解：(53+79)÷(4+7)=12， a=53-4×12=5。
　　6.13。解：（67-22）÷（16-7）=5，7×5-22=13。
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分数运算的技巧
　　对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。
　　1.凑整法
　　与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。
　　2.约分法
　　3.裂项法
　　若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算。
　　例7 在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1。
　　分析与解：这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1，而分母不同的
就非常简单了。
括号。此题要求的是10个数的倒数和为1，于是做成：　　　　
　　所求的10个数是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。
的10和30，仍是符合题意的解。
　　4.代数法
　　5.分组法
　　原式中分母为2～20的分数之和依次为
练习3
　8.在自然数1～60中找出8个不同的数，使这8个数的倒数之和等于1。
答案与提示　
　　1.3。 
　　8.2，6， 8， 12， 20， 30， 42， 56。
　　9.5680。
　　解：从前向后，分子与分母之和等于2的有1个，等于3的有2个，等于4的有3个人……一般地，分子与分母之和等于n的有(n-1)个。分子与分母之和小于9+99=108的有1+2+3+…+106=5671（个），
5671+9=5680（个）。
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循环小数与分数
　　任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。
　　（1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，化
　　因为40=23×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。
　　（2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。
　　（3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与
　　5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。
　　于是我们得到结论：
　　一个最简分数化为小数有三种情况：
　　（1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；
　　（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；
　　（3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
　　例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？
　　分析与解：上述分数都是最简分数，并且
　　32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13，
　　117=33×13，850=2×52×17，
　　根据上面的结论，得到：
不循环部分有两位。
　　将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的方法。
　　1.将纯循环小数化成分数。
　　将上两式相减，得将上两式相减，得
　　从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方
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