4.2    平面与立体相交线-截交线 1、 平面与平面立体相交 2、平面与回转体相交 三、回转切割体的投影 [例3-3] 作出斜切圆柱体的截交线。  分析：空间分析与投影分析； 作图步骤： ①作圆柱体的三视图       [例3-4] 在圆柱体上开出一方槽。已知其正面投影和侧面投影，求作水平投影。 ③判断可见性，连线、加深 ④检查、完成 [例3-5] 求圆柱切割后的投影。  分析：形体分析与投影分析； 作图步骤：  ①作圆柱体的三视图 作图步骤：    ②画出切去Ⅰ、Ⅱ部分的投影 作图步骤： ③画出切去Ⅲ部分的投影 作图步骤：   ④画出切去Ⅳ部分的投影,并检查、完成全图 表3-2  平面与圆锥体相交的五种形式 图3-25 圆柱体切割后的投影 (d)  图3-25 圆柱体切割后的投影 (e)  图3-25 圆柱体切割后的投影 (f)    根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。 过锥顶 两相交直线 PV 圆 PV θ θ= 90° PV 椭圆 α θ θ＞α 抛物线 PV θ α θ=α 双曲线 PV α θ= 0°＜α （2） 圆锥体的截切 2.平面与圆锥相交 平面与圆锥相交 例4-5、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。 3 4 2 1 5 3’ 2’ (4’) 1’ (5’) 4” 3” 2” 1” （1）先求特殊点。 （2）再求一般点。 （3）依次光滑连接各点。 5” 3 1 5 2 4 具体步骤如下：   平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 （3） 球的截交线 平面与球相交 例4-6：求半球体截切后的水平投影和侧面投影。 水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。   两个侧平面截圆球的截交线的投影，侧面投影为部分圆，水平投影积聚为直线。 * * 截平面 截交线 截断面 截交线与截断面        平面与立体相交，可以认为是立体被平面截切。               研究平面与立体相交，其目的是求截交线的投影。 截交线的一般性质：    1)截交线既在截平面上，又在立体表面上，因此截交线是截平面与立体表面共有线。截交线上的点是截平面与立体表面共有点。      2) 由于立体表面是封闭的，因此截交线必定是封闭的线条，截断面是封闭的平面图形。       3)截交线的形状取决于立体表面的形状和截平面与立体的相对位置。         求截交线可归结为求截平面与立体表面共有点、线的问题。 平面立体的截交线是一个封闭的平面多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 求截交线的实质是求平面立体的棱线与截平面的交点。    截交线的作图 （1） 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 关键是正确地画出截交线的投影。 （2）求截交线的步骤： ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 确定截交线 的投影特性 确定截交 线的形状 ★ 空间及投影分析 ★ 画出截交线的投影    分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。 例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。 图3-20  平面与三棱锥相交 s’ a’ b’ c’ c” a” b” s Pv s” (1)  求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点1’、2’、3’为截平面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。 1’ 2’ 3’ (2) 根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。 1 1” 2” 2 3 (3) 连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。 (4) 补全棱线的投影。 3” 具体步骤如下： 1’ 2’ 3’(4’) 1” 3” 4” 1 2 4 3  例2 求立体被截切后的投影 例3：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。 3? 2? 1? (4?) 1? ● 2? ● 4? ● 3? ● 1 ● 2 ● 4 ● ★ 空间分析 交线的形状？ 3 ● ★ 投影分析 ★ 求截交线 ★ 分析棱线的投影 ★ 检查  尤其注意检查截    交线投影的类似性 棱线法！ 例4：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。 1 2 1?(2?) Ⅰ、Ⅱ两点分别同时位于三个面上。 三面共点： 2? ● 1? ●         注意：    要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。  例5:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影 作图方法: 1 求棱线与截平面 的共有点 2 连线  3 根据可见性处理轮廓线 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 7 ? 7 ? 5 ? 6 ? 5 ? 6 ? 1 2 3 4 5 6 7 3 ? 4 ? 3 ? 4 ? 1’ 2’(3’) 4’(5’) 6’(7’) 6” 7” 1” 3” 2” 5” 4” 6 7 例6 补全水平投影和侧面投影   例 7:  求八棱柱被平面P截切后的水平投影。 P? 截交线的形状？ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ 1? 5? 4? 3? 2? 8? 7? 6? 截交线的投影特性？ 2?≡3?≡6?≡7? 1?≡8? 4?≡5? 求截交线 1 5 4 7 6 3 2 8 分析棱线的投影 检查截交线的投影 截交线 截平面 截平面 截交线 截交线的性质： ? 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 ? 截交线的形状取决于回转体表面的形状及    截平面与回转体轴线的相对位置。 ? 截交线都是封闭的平面图形。 求平面与回转体的截交线的一般步骤  （1）空间及投影分析 ☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线      的相对位置，以便确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交       线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出      截交线的已知投影，予见未知投影。 （2）画出截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可      见性。 ☆ 先找特殊点，补充中间点。   截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置 垂直 圆 椭圆 平行 两平行直线 倾斜 PV P PV P PV P （1） 圆柱体的截切 1.圆柱切割体 表3-1  平面与圆柱相交的三种方式 1' 2' (4') 3' 1 2 3 4 1" 2" 3" 4" (6') 5' 5 6 6" 5" 图3-23 斜切圆柱体的投影 （b) ②找特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的投影  ③作一般点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ的投影 7' (8') 7 8 7" 8" (a) 题图 ④光滑连线 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅵ Ⅴ Ⅶ Ⅷ 例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。 平面与圆柱相交         由于平面与圆柱的轴线斜交，因此截交线为一椭圆。截交线的正面投影重影为一直线，水平投影与圆柱面的投影重影为圆。侧面投影可根据圆柱表面取点的方法求出。 具体步骤如下： （1）先作出截交线上的特殊点。 （2）再作出适当数量的一般点。 （3）将这些点的投影依次光滑的连接起来。 1’ 1 5’ 5 3 7 3’ (7)’ 1”
4-2截交线.ppt