第六章 线性二次型最优控制问题 6.1  线性二次型最优控制问题的提法 6.2  有限时间的状态调节器问题 6.3  无限时间的状态调节器问题 6.4  输出调节器问题 6.5  跟  踪  问  题 *6.6  具有指定稳定度的最优调节器问题 * 6.7  在阶跃干扰作用下的状态调节器问题 * 6.8  带有观测器的最优调节器问题 　线性二次型最优控制问题是指线性系统具有二次型性能指标的最优控制问题，它呈现如下重要特性： 　性能指标具有鲜明的物理意义。最优解可以写成统一的解析表达式。所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式，便于计算和工程实现。  　可以兼顾系统性能指标的多方面因素。例如快速性、能量消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。 　在理论上，线性二次型最优控制问题是其它许多控制问题的基础，有许多控制问题都可作为线性二次型最优控制问题来处理。  　线性二次型最优控制问题，在实践上得到了广泛而成功的应用。可以说，线性二次型最优控制问题是现代控制理论及其应用领域中最富有成果的一部分。  6.1 线性二次型最优控制问题的提法  max.book118.com    给定线性时变系统的状态方程和输出方程      其中，X(t)是n维状态变量，U(t)是m维控制变量，Y(t)是l维输出变量，A(t)是n?n时变矩阵，B(t)是n?m时变矩阵。假设1?l?m?n，U(t)不受约束。若Yr(t)表示预期输出变量，它是l维向量，则有 e(t)= Yr(t)－Y(t) 称为误差向量。现在的问题是，选择最优控制U*(t)使下列二次型性能指标                                                  (max.book118.com)   为最小，这就是线性二次型最优控制问题。其中S是l?l半正定对称常数矩阵，Q(t)是l?l半正定对称时变矩阵，R(t)是m?m正定对称时变矩阵，终端时间tf是固定的，终端状态X(tf)自由。 　性能指标（max.book118.com）的物理意义   式（max.book118.com）中的第一部分      称作终端代价，用它来限制终端误差e(tf) ，以保证终端状态X(tf)具有适当的准确性。 式（max.book118.com）中的第二部分      称作过程代价，用它来限制控制过程的误差e(t)，以保证系 统响应具有适当的快速性。 式（max.book118.com）中的第三部分       称作控制代价，用它来限制控制U(t)的幅值及平滑性，以保证系统安全运行。同时，它对限制控制过程的能源消耗也能起到重要的作用，从而保证系统具有适当的节能性。      说明：      （1）二次型性能指标是一种综合型性能指标。它可以兼顾终端状态的准确性、系统响应的快速性、系统运行的安全性及节能性各方面因素。线性二次型最优控制问题（max.book118.com）、（max.book118.com）的实质是：用不大的控制能量，来保持较小的输出误差，以达到控制能量和误差综合最优的目的。    （2）在这些不同目标之间，往往存在着一定矛盾。例如，为能尽快消除误差并提高终端准确性，就需较强的控制作用及较大的能量消耗；而抑制控制作用的幅值和降低能耗，必然会影响系统的快速性和终端准确性。如何对这些相互冲突的因素进行合理折衷，是系统设计者必须认真对待的课题。   （3）性能指标由三项组成，若各项出现不同符号，将发生相互抵消的现象。这样，尽管各项单独的数值较大，但J的数值可能很小，性能指标就无法反映各项指标的优劣。为防止出现这种情况，应保证在各种实际运行情况下，无论容许控制如何选择，性能指标中各项的数值始终具有相同的符号。又因是以极小值作为最优标准，结合问题的物理性质，各项符号均取正值。  （4）控制时间的起点t0及终点tf，可能是由实际问题决定的客观参数，也可能是由设计者决定的主观参数。对后者而言，设计者必须把希望达到的目标和t0 、 tf的选择联系起来。 课前预习和讨论 1、已经学过的最优控制问题的求解方法有哪些？它们之间有何联系和区别？ 2、什么样的最优控制问题称为线性二次型最优控制？ 3、线性二次型最优控制问题有何特点？ 4、你认max.book118.com的线性二次型最优控制问题应该用什么方法求解? 为什么？ 5、目标泛函中的各项反映了什么样的控制要求和性能？请具体说明！ 6、目标泛函中的加权矩阵S，Q(t)和R(t)意味着什么？ 7、你认为二次型最优控制问题的难点在哪儿？       消耗，而UT(t)R(t)U(t) 则反映各瞬间的控制功率，只要U(t) 不为零，控制功率当然就不应等于零。      （3）由于终端代价只表示终端时刻tf时的性能，因此， S应为常数阵。至于Q(t)及R(t)，可能取为常数阵，也可能取为时变阵。后者是为了适应控制过程的特殊需要。例如，在控制过程的初期出现的较大误差，并非系统品质不佳所致，而是由系统的初始条件引起的，因此，不必过分重视这种误差，以免引起控制作用U(t)不必要的过大冲击，但控制过程的后期的误差直接与控制效果相关，必须给予足够的重视。只有把Q(t)和R(t)取为时变阵，才能适应控制过程的这类时变需求。有时，为了防止模型的失调，也需要Q(t)及R(t)具有时变性质。 对容许控制U(t)和终态X(tf)的说明   （1） 在线性二次型问题的定义中，并没有直接提出对控制作用U(t)的不等式约束，但这并不等于在物理上不需要对U(t)进行必要的限制。实际上，用适当选择Q(t)和R(t)数值比例的方法，同样可以把U(t)的幅值限制在适当的范围之内。这样，就可以在保持闭环系统线性性质的前提下，实现对U(t)的限制。    （2）在定义问题时，也没有直接提出对终态X(tf)的要求。实际上，对终态的要求，是利用性能指标的终端代价来反映的，性能指标中的终端代价用于限制终端误差，它表明期望终态X(tf)尽量靠近误差信号e(t)=0所对应的状态。   若C(t)=I（单位矩阵），Yr(t)=0，则     于是性能指标（max.book118.com）变为      这时问题归结为：用不大的控制能量，使系统状态X(t)保持在零值附近，因而称为状态调节器问题。 若Yr=0，则      若Yr(t)?0，则     于是性能指标（max.book118.com）可写为        这时问题转化为：用不大的控制量，使系统输出Y(t)紧紧跟随Yr(t)的变化，故称为跟踪问题。  6.2  有限时间的状态调节器问题 max.book118.com    给定线性定常系统的状态方程和初始条件     其中X(t)是n维状态变量，U(t)是m维控制变量，A是n?n常数矩阵，B是n?m常数矩阵。性能指标是      其中Q是n?n非负定、对称的常数矩阵，R是m?m正定、对称的常数矩阵，tf是给定的终端时刻，X(tf)是自由的终端状态，控制函数U(t)不受约束。      现在的问题是，要求确定最优控制函数U*(t)，使性能指标（max.book118.com）达到最小值。这样的最优控制问题是以较小的控制能量为代价，使状态变量X(t)保持在零值附近，故称为状态调节器问题。             又考虑到终端时间tf是有限的，故称为有限时间的状态调节器问题。相应的最优控制
线性二次型最优控制问题.ppt