2.4  平面的投影 一、平面的表示法 不在同一直线上的三个点  直线及线外一点 a b c a? b? c? ● ● ● ● ● ● d ● d? ● 两平行直线 a b c a? b? c? ● ● ● ● ● ● 两相交直线 平面图形 c? ● ● ● a b c a? b? ● ● ● c ● ● ● ● ● ● a b a? b? c? b ● ● ● ● ● ● a c a? b? c? 二、平面的投影特性 垂直 倾斜 投 影 特 性 ★平面平行投影面——投影就把实形现 ★平面垂直投影面——投影积聚成直线 ★平面倾斜投影面——投影类似原平面 实形性 类似性 积聚性 ⒈ 平面对一个投影面的投影特性 平行 ⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性 平面对于三投影面的位置可分为三类： 投影面垂直面  投影面平行面 一般位置平面 特殊位置平面 垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面 平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面 与三个投影面都倾斜   正垂面   侧垂面   铅垂面   正平面   侧平面   水平面 c? c? ⑴ 投影面垂直面 为什么？ 是什么位置的平面？ a b c a? b? b? a? 类似性 类似性 积聚性 铅垂面 γ β 投影特性：     在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影为类似形。 a? b? c? a? b? c? a b c ⑵ 投影面平行面 积聚性 积聚性 实形性 水平面 投影特性： 在它所平行的投影面上的投影反映实形。     另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。 a? b? c? a? c? b? a b c ⑶ 一般位置平面 三个投影都类似。 投影特性： a? c? b? c? a? ● a b c b? 例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影     及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面     投影。 思考：此题有几个解？ 45° 三、平面上的直线和点 位于平面上的直线应满足的条件： ⒈ 平面上取任意直线 ● ● M N A B ● M 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。  若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。  a b c b? c? a?  d? d 例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在      平面内任作一条直线。 解法一: 解法二: 有多少解？ 有无数解！ n? ● m? ● n ● m ● a b c b? c? a? 例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到      H面的距离为10mm。 n? m? n m 10 c? a? b? c a b  唯一解！ 有多少解？ ⒉ 平面上取点     先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。 例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。 b a c a? k? b? ● ① c?  面上取点的方法： 利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解 首先面上取线 k ● d? d ② ● a b c a? b? k? c? k ● b c k a d a? d? b? c? k? b 例2：已知AC为正平线，补全平行四边形      ABCD的水平投影。 解法一: 解法二: c a d a? d? b? c? d e d? e? 10 10 m? ● m ● 例3：在△ABC内取一点M，并使其到H面V面的      距离均为10mm。 b c X b? c? a a? O 2.5 直线与平面及两平面的相对位置 相对位置包括平行、相交和垂直。 一、平行问题   直线与平面平行  平面与平面平行 包括 ⒈ 直线与平面平行     若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。 n? ● ● a? c? b? m? a b c m n 例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。 有无数解 有多少解？ d? d 正平线 例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。 唯一解 c? ● ● b? a? m? a b c m n n? d? d ⒉  两平面平行 ①若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。 ②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。 c? f? b? d? e? a? a b c d e f f? h? a b c d e f h a? b? c? d? e? a c e b b? a? d? d f c? f? e? k h k? h? O X m? m 由于ek不平行于ac,故两平面不平行。 例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行,     已知AB∥CD∥EF∥MH     直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。 二、相交问题 直线与平面相交 平面与平面相交 ⒈  直线与平面相交 要讨论的问题： ● 求直线与平面的交点。     ● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可   见性。     我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。 ● ● 例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 空间及投影分析     平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。 ①求交点 ②判别可见性     由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k?n?为可见。 还可通过重影点判别可见性。 作图 用线上取点法 ⑴ 平面为特殊位置 a b c m n c? n? b? a? m? k? ● k ● 1?(2?) 2 ● 1 ● ● 1?(2?) k m(n) b ● m? n? c? b? a? a c ⑵ 直线为特殊位置 空间及投影分析     直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。 ① 求交点 ② 判别可见性     点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k?2?为不可见。 k? ● 2  ● 1 ● 作图 用面上取点法 ● ⒉  两平面相交     两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。 要讨论的问题： ⑴ 求两平面的交线 方法： ① 确定两平面的两个共有点。 ② 确定一个共有点及交线的方向。     只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。 ⑵ 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：    判别可见性。 * ? 2.1 投影法及其分类 ? 2.2 点的投影 ? 2.3 直线的投影 ? 2.4 平面的投影 ? 2.5 直线与平面及两平面的        相对位置 ? 本章小结 结束放映 平行投影法 中心投影法 2.1 投影法及其分类 投影法 投射线 物体 投影面 投影     投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法——投影法。 投射中心 斜投影法 正投影法 中心投影法     投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。     度量性较差。 投  影  特  性 物体位置改变，投影大小也改变。 投射线 物体 投影面 投影 投射中心 平 行 投 影 法 投  影  特  性     投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好。     工程图样多数采用
第二章.点、直线、平面的投影.ppt