如果结构上除分布质量m(x)外，还有集中质量mi(i=1,2,…,n)，设以yi 表示集中质量i 点处相应的振幅，则有 （14-96）    （14-97） 若结构上只有集中质量而不计分布质量时，则有 §14-10 计算频率的近似方法     1. 利用上述公式计算自振频率时，必须知道振型曲线y(x), 但实际上y(x)事先往往是不知道的，因此必须先假定y(x)来进行计算，这就使得求得的自振频率高于精确值。 注意：     2. 通常第一频率所对应的振型易于估计，易于用简单的函数表达，因此瑞利法主要是用于求第一频率的近似值。 §14-10 计算频率的近似方法     在假定振型曲线时，应该使它满足位移的边界条件，通常多采用某一静力荷载作用下的弹性曲线来作为振型曲线y(x)。此时，应变能Umax可以更简便地用相应的外力功Wmax来代替。 由Umax与Vmax相等，即得确定频率的另一计算公式： （14-98) §14-10 计算频率的近似方法                              对于单跨梁，通常假设其自重作用下的弹性曲线作为振型曲线，就可以得到基本频率ω1的良好近似解。             计算经验表明，基频的计算对振型曲线是不敏感的，只要所设振型曲线满足位移边界条件，且与真实振型曲线接近，就能得出相当精确的解答。         对于其他结构，当用能量法求基本频率时，则首先要判断基本振型的大致形状，它应该是结构在振动时容易出现的较为简单的变形形式，然后假设一与它接近的曲线方程 y(x)，这样算得的频率也就是对应于基本频率的近似解。 §14-10 计算频率的近似方法      例14-25  均质等截面简支梁，粱长为l ，单位梁长的质量为   , 其抗弯刚度EI为常数，若取振型曲线为： m   (1) 图b所示的正弦曲线               ；          (2) 梁在自重作用下的挠曲线,分别计算自振频率，并将所得结果进行比较。   解  (1) 振型为正弦曲线 得   §14-10 计算频率的近似方法    正弦曲线             是准确的第一阶主振型，           πx  y(x)=asin─           l (2) 设振型为梁在自重作用下的挠曲线： 所以      因此由它求得的是第一频率的精确解。根据自重作用下的挠曲线求得的结果也具有很高的精确度。 讨论： §14-10 计算频率的近似方法 一、几个值得注意的问题     1. 弹性体系的振动自由度        描述体系的振动，需要确定体系中全部质量在任一瞬时的位置，为此所需要的独立坐标数就是弹性体系振动的自由度。值得注意的是：体系中集中质量的个数不一定等于体系振动的自由度，自由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关。 三个集中质量，一个自由度 一个集中质量，两个自由度 第十四章  结构动力学总结 2. 确定体系振动自由度的方法     方法一  可以运用附加链杆法，使质量不发生线位移所施加的附加链杆数即为体系的计算自由度。例如图a中，需要两个链杆才能阻止集中质量的线位移(图b)，故体系有两个振动自由度。      方法二  当忽略杆件的轴向变形时，可以运用几何构造分析中的铰接链杆法——将所有质点和刚结点变为铰结点后，使铰接链杆体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为自由度数。例如图a铰化为铰接链杆体系后， 需要增加两根链杆（图c）。 第十四章  结构动力学总结     例：若忽略直杆的轴向变形,图a 所示结构的动力自由度为多少？     解：铰接链杆体系如图b或图c，需附加4根链杆，体系有4个自由度。 第十四章  结构动力学总结     例：设直杆的轴向变形不计，图a所示体系的动力自由度为多少？     解：铰接链杆体系如图b所示，增加链杆1、2. 体系的动力自由度为2。 第十四章  结构动力学总结     例：考虑各杆件的弯曲及柱的轴向变形，图a所示体系的动力自由度数为多少？ 解：用附加链杆法（图b）, 动力自由度数等于5。 第十四章  结构动力学总结 3. 结构的自振周期（频率）   结构自振周期的几种计算公式：     周期T 的单位是“s（秒）”； 圆频率ω的单位是“s-1”，即“弧度/每秒”；工程频率f 的单位为“Hz（赫兹）”， 即每秒振动的次数。 , 第十四章  结构动力学总结 注意：     （1） 结构自振周期（频率）是结构动力性能的一个很重要的标志。两个外表看来相似的结构，如果自振频率相差很大，则动力性能相差很大；反之两个外表看来并不相同的结构，如果其自振频率相似，则在动荷载作用下其动力性能基本一致。     （2） 自振周期只与结构的质量和刚度有关，与初始条件及外界的干扰因素无关。 第十四章  结构动力学总结 例：图a所示结构频率为ωi，求图b所示结构频率ω。     解：图b体系为并联弹簧，其刚度系数k等于各弹簧刚度系数ki之和. k=k1+k2+k3 第十四章  结构动力学总结 例：图a 所示结构周期为Ti，求 图b所示体系周期。     解：图b体系为串联弹簧，其刚度系数k的倒数等于各弹簧刚度系数ki的倒数之和。 第十四章  结构动力学总结         例：图a所示体系中，已知横梁B端侧移刚度为k1，弹簧刚度为k2，求竖向振动频率。        解：体系可简化为图b所示的串联弹簧体系，竖向振动频率为 第十四章  结构动力学总结         例：图a所示体系中k1为横梁在C点的侧移刚度，k2为弹簧刚度。求体系的竖向振动频率。         解：体系可简化为图b所示的并联弹簧体系，竖向振动频率为 第十四章  结构动力学总结 4. 单自由度体系的强迫振动时的动力放大系数             (1) 简谐动荷载作用在质体上，内力动力系数与位移动力系数相同。 动力系数          计算时，只须将干扰力幅值当作静荷载按静力方法算出相应的位移、内力，再乘以动力系数? 即可。      计算结构的位移和内力时，应先算出质体上的惯性力，并将惯性力及荷载幅值作用于结构上（如左图所示），然后按静力方法计算。         (2) 简谐动荷载不作用在质体上，结构没有一个统一的动力系数。 第十四章  结构动力学总结      是一个非齐次线性微分方程组。它的一般解由两部分组成：一部分是对应齐次微分方程的解；另一部分则是某一特解。齐次解对应于自由振动部分，这部分将很快衰减掉。在研究强迫振动问题时，着重讨论式(14-79)的特解,即稳定强迫振动的解。                     δM ?+y=?P sinθt                                        (14-73) 设方程的特解为：                                          y=Asinθt                                    (14-74)        A=[A1   A2… An]T A为强迫振动位移幅值列向量： A1、A2、…、An. 将y 连同 ?=－Aθ2sinθt 代入式(14-73)，化简后得 (14-76) 解方程组可求出各质点在纯强迫振动中的振幅： 由式(14-74)

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