* 二、单自由度体系自由振动微分方程的解 ) ( m k = w 0 2 y y = + T w & & ) ( 0 a ky y m = + L L & & )  sin( ) ( a w + = t a t y sin cos ) ( 0 0 w w w + = t v t y t y ) 0 ( 0 2 0 = T = y C y y cos sin ) ( 2 1 w w + = t C t C t y ) 0 ( 0 1 0 w = T = v C v y & y(t) t y0 －y0 y(t ) t v0/ω －v0/ω T t a －a T α/ω 其中δ——是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质 点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。           k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。      Δst=Wδ——在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质 点沿振动方向所产生的位移。 计算时可根据体系的具体情况，视δ、 k、 Δst 三参数中哪一个最便于计算来选用。 自振周期计算公式： 圆频率计算公式： 一些重要性质： （1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅a。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。 （3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。 例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 m m m 解：1）求δ P=1 3l/16 5l/32 P=1 l/2 据此可得：ω1? ω2 ? ω3= 1 ? 1.512 ? 2  结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。 1 θ 例5、求图示结构的自振圆频率。 解法1：求 k θ=1/h MBA=kh = MBC k l h m I→∞ EI B A C 1 h 解法2：求 δ 例6、求图示结构的自振频率。 l EI m k 1 k11 k11 k 解：求 k 对于静定结构一般计算柔度系数方便。 如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点 都不能发生转动（如横梁刚度为∞刚架)计算刚度系数方便。 一端铰结的杆的侧移刚度为： 两端刚结的杆的侧移刚度为： 五、阻尼对自由振动的影响 忽略阻尼影响时所得结果 能不能 反映实际结构的振动规律。 大体上 忽略阻尼的振动规律 考虑阻尼的振动规律 结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。 简谐荷载作用下有可能出现共振。 自由振动的振幅永不衰减。 自由振动的振幅逐渐衰减。 共振时的振幅趋于无穷大。 共振时的振幅较大但为有限值。 产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力。 阻尼力的确定：总与质点速度反向;大小与质点速度有如下关系：    ①与质点速度成反比（比较常用，称为粘滞阻尼）。    ②与质点速度平方成反比（如质点在流体中运动受到的阻力）。    ③与质点速度无关（如摩擦力）。 粘滞阻尼力的分析比较简单，(因为R(t)=－Cy ). 其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。 振动模型 y ky k m y 有阻尼的自由振动，动平衡方程： ( 阻尼比） ) 1 ( 2 - ± - = x x w l 0 2 2 2 = + + w xwl l ) ( = l t Ce t y 设解为： 特征方程为： 1)ξ 1（低阻尼）情况 c 令 低阻尼体系的自振圆频率 ae-ξωt t y t y 低阻尼y- t曲线 无阻尼y- t曲线 ①阻尼对自振频率的影响.         当ξ 0.2，则存在0.96 ωr/ω 1。在工程结构问题中，若0.01 ξ 0.1，可近似取: 称为振幅的对数递减率. 设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则: 经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为: 工程中常用此方法测定阻尼 ②阻尼对振幅的影响.     振幅ae- ξω t  随时间衰减，相邻两个振幅的比 振幅按等比级数递减. EI=∞ m 例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m 9.8kN                   ，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。 解： = w x k 2 = w x m c 2 = w w x m 2 2 临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点） 阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。 3)ξ 1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。 2)ξ=1（临界阻尼）情况 ) 1 ( 2 - ± - = x x w l = -w    l t y y0 θ0 这条曲线仍具有衰减性， 但不具有波动性。 m §15-3    单自由度体系的受迫振动    受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。 k y(t) y m ky P(t ) m P(t ) P(t ) 弹性力－ky、惯性力 和荷载P(t)之间的平衡方程为: 一、简谐荷载： t m F t A t A q q w q q sin sin sin 2 2 = + - t A y q sin = m t F y y q w sin 2 = + & & t y t m F y st q w q q w q w sin ) 1 ( 1 sin ) 1 ( 2 2 2 2 2 - = - = 单自由度体系强迫 振动的微分方程 特解： 最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生 的位移）。 特解可写为： 通解可写为： 设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则： 过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段； 平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在） 按自振频率振动 按荷载频率振动 平稳阶段： 最大动位移（振幅）为： 动力系数β为： 1 0 2 3 1 2 3 w q b 重要的特性： 当θ/ω→0时,β→1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。 当0  θ/ω  1时,β 1，并且随θ/ω的增大而增大。 当θ/ω →1时,β→∞。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75  θ/ω  1.25称为共振区。 当θ/ω  1时,β的绝对值随θ/ω 的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。         当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各 截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。         例：已知m=300kg，EI=90×105N.m2 ,k=48EI/l3  ,P=20kN,θ=80s-1        求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。 2m EI m k Ps

15动力学2.ppt