* （1）主振型 m1 m2 Y21 Y11 Y12 Y22 最小圆频率称为第一(基本)圆频率： ——第二圆频率 特征方程 频率方程 §15-4  两自由度体系的自由振动 一、刚度法 令 主振型 二、柔度法 三、主振型及主振型的正交性   m1 m2 Y11 Y21 由功的互等定理： 整理得： m1 m2 Y12 Y22 因                   ，则存在： 两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。 第一主振型 第二主振型 由功的互等定理： 上式分别乘以ω12、ω22，则得： 第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零； 某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动； 各个主振型能单独存在，而不相互干扰。 §15-5  两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动 y1(t) y2(t) P1(t) P2(t) 在平稳阶段，各质点也作简谐振动： Y1=D1/D0 Y2=D2/D0 如果荷载频率θ与任一个自振频率 ω1、 ω2重合，则D0=0,  当D1、D2 不全为零时，则出现共振现象 .. .. m2 m1 k2 k1 例：质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2 解：荷载幅值：P1=P，P2=0，求刚度系数： k11=k1+k2 ,   k21=－k2  , k22=k2 ,     k12=－k2 当m1=m2=m，k1=k2=k 3.0 -2.0 -3.0 0 0.618 3.0 1.618 2.0 1.0 -1.0 3.0 -2.0 -3.0 0 0.618 3.0 1.618 2.0 1.0 -1.0 两个质点的 位移动力系 数不同。 当                                                                                             趋于无穷大。 可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。 也有例外情况? l/3 l/3 l/3 m m Psinθt Psinθt 如图示对称结构在对称荷载作用下。 与ω2相应的振型是 12 k 2 2 11 m k w - - 22 12 Y Y = =－1 当θ=ω2  ，D0=0 ，也有： 不会趋于无穷大，不发生共振， 共振区只有一个。           对称体系在对称荷载作用下时，  只有当荷载频率与对称主振型的自  振频率相等时才发生共振；当荷载  频率与反对称主振型的自振频率相  等时不会发生共振。同理可知：对  称体系在反对称荷载作用下时，只  有当荷载频率与反对称主振型的自  振频率相等时才发生共振。  k k P yst1 yst2=P/k 荷载幅值产生的静位移和静内力 yst1= yst2=P/k 层间剪力:  Qst1= P   动荷载产生的位移幅值和内力幅值 θ2mY2 θ2mY1 由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。 层间动剪力: 例15-9： m2 m1 k2 k1 质量集中在楼层上m1、m2 ， 层间侧移刚度为k1、k2 k11=k1+k2 ,     k21=－k2   , k22=k2 ,     k12=－k2 m1 k1 m2 k2 这说明在右图结构上， 适当加以m2、k2系统 可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。         吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。 设计吸振器时，先根据m2的许可振幅Y2，选定 ，再确定 例：如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点产生的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN，问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm) Psinθt 解：1） 频率比在共振区之内应设置吸振器。 2）由 k2 m2 弹簧刚度系数为： N/m =102 kg §15-9   近似法求自振频率 1、能量法求第一频率——Rayleigh法       根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能T 和应变能U  之和应等于常数。  根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得：                         Umax=Tmax  ω 求Umax ，Tmax  求频率  如梁上还有集中质量mi， 位移幅值 . Yi为集中质量mi处的位移幅值。 假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点： 1、必须满足运动边界条件：      （铰支端：Y=0；固定端：Y=0，Y′=0）       尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。 2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第 n 主振型相似，则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故 Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。 3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形式。曲率小，拐点少。 4、通常可取结构在某个静荷载q（x）（如自重）作用下的弹性曲线作为Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q（x）所作的功来代替，即 2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x) 例12   试求等截面简支梁的第一频率。     1）假设位移形状函数为抛物线 l y x 满足边界条件且与第一振型相近 3）假设 第一振型的精确解。 精 确 解 x h0 l 例13   求楔形悬臂梁的自振频率。 设梁截面宽度为 1，高度为 h=h0x/l。 解： 单位长度的质量： 设位移形状函数： 满足边界条件：        Rayleigh 法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。 截面惯性矩： 相比误差为3% 与精确解     1、假设多个近似振型 都满足前述两个条件。 2、将它们进行线性组合 （a1、a2、?????????、an是待定常数） n n a a a x Y ┉+ + + = 2 2 1 1 ) ( j j j        3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的Y（x）代入频率计算公式中得到的ω2  的值虽仍比精确解偏高，但对所有的a1，a2，…，an的可能组合，确实获得了最小的ω2值。 所选的a1，a2，…，an使 ω2  获得最小值的条件是 这是以a1，a2，…，an为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶频率来。阶次越低往往越准。         为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附加的约束， Ritz 提出了改进方法：  * 

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