MATLAB及其应用 第三讲  数据处理 授课人：鲍文  目录 1 矩阵分析 2 数据分析函数 3 多项式处理 4 曲线拟和与插值 5 数据分析 6 微分方程数值解 1 矩阵分析 一、特征值分解 对于方阵a特征值问题：ax=rx，求取a阵的特征值和特征向量使用下面的方法： [v,d]=eig(a) 使用            [v,d]=eig(a,’nobalance’) “平衡” 的作用减少计算误差，不平衡用于A阵大小悬殊的时候。 广义特征值问题：ax=rbx，求解的方式为： [v,d]=eig(a,b) 二、三角分解 三角分解把矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵，又称为LU分解或者。计算中使用高斯变量消去法。这一分解使用 [l,u]=lu(a)实现。 三、奇异值分解 [u,s,v]=svd(a) 实现奇异值分解。 分解得到的三个因数有如下关系 a=u*s*v 其中u矩阵和v矩阵是正交矩阵，s矩阵是对角矩阵，它的对角元素是a矩阵的奇异值。 奇异值分解的稳定性很好。 2 数据分析函数 函数名	含义 max	最大值 min	最小值 mean	均值 std	标准方差 median	中值 分析函数 函数名	含义 sum	元素的总和 prod	元素的乘积 cumrod	元素的累积 cumsum	元素的累加和 diff	          差分函数:少了一个元素   例题 求出y=x*sin(x) 在0 x 100的每个峰值 思路：     1、数学上峰值就是导数为零的点     2、导数在matlab中可以使用差分代替     3、差分后怎么求过零点呢？ 3 多项式处理一、多项式表示 多项式在MATLAB中使用降幂系数的行向量表示。表示中需要包含零系数的项。poly2str：control toolbox中的函数 使用函数roots可找出多项式等于零的根。 规定：多项式用行向量，根用列向量。 给出多项式的根，使用poly函数也可以构造出相应的多项式。 二、多项式运算 函数conv进行乘法运算，deconv进行除法运算。MATLAB没有提供特别的多项式加减法运算。 多项式除法并不一定能够除尽，很多时候需要有余数多项式。 多项式微分使用polyder(p)函数，估计值使用polyval(p,at)函数。 4 曲线拟和与插值 在分析试验数据中，常常要面临将试验数据作解析描述的任务，这个问题有曲线拟合和插值两种方法。 在曲线拟合中，假定已知曲线的规律，作曲线的最佳逼近，但不需要经过所有的数据点；在插值中，认为数据是准确的，求取其中描述点之间的数据。 一、曲线拟合 1、多项式的最小二乘曲线拟合 使用polyfit，它需要曲线的x、y值，以及曲线的阶数。 曲线的阶数：如果曲线的阶数选择的过小，拟合效果不好；如果曲线的阶数过高，虽然数据点上看到效果好，数据点之间会出现有数据振荡的问题，阶数不宜过高，小于5阶。 灵活使用拟合 2、直接最小二乘 数据规律并不是多项式形式，直接最小二乘来拟合。 最小二乘函数为k=nnls(fx,y) 计算结果将使得|fx*k-y|2范数下最小 在计算中，fx可以为x的函数。 例子：拟合  二、插值函数 1、曲线插值函数interp1 方法      t=interp1(x,y,x0,’method’) x、y：原始数据点，x0为进行插值的数组，method为插值算法:线性插值('linear')，三次样条插值('spline'),三次多项式插值(‘cubic’). 如果x0出界，则对应值为NaN      例程：ex42.m 2、曲面插值 插值函数： interp2，基本形式： zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method) method包括      linear:线性      cubic:三次多项式      nearest：粗略估计数据 例程：ex43 三、三次样条 1、使用的原因      高阶多项式插值出现病态问题，三次样条使用分段多项式，各点上的三次导数相等。它光滑、导数连续。 2、插值   yi=spline(x,y,xi);   pp=spline(x,y);  分段多项式形式 例程：ex44 三次样条 pp形式可以和三次多项式形式转化： [break,coef,np,nc]=unmkpp(pp) 断点、三次多项式、多项式数量、系数数量    pp=mkpp(break,coef); 由于转化为了多项式形式，可以方便的进行积分和微分运算。  四、滤波和平滑 1、插值和拟合的问题：噪声 2、滤波: 滞后,filter   y=filter(b,a,x) a,b:滤波器的分子分母,x输入  a(1)*y(n) = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + ... +         b(nb+1)*x(n-nb) - a(2)*y(n-1) - ... - a(na+1)*y(n-na) 例程:ex46 3、平滑    yi=csaps(x,y,P,xi)    yi=csaps(x,y,P) 其中P为平滑因子0~1 0: 最小二乘    1:平滑近似 ex46 ex45 5 数据分析 1、极小化 MATLAB提供了fmin和fmins两个函数来求极值，它们分别寻找一维和n维函数的极值。它使用的单纯性法搜索。函数计算量大，或搜索区内有多极值，搜索的过程较长，也可能找不到极值。如找不到极值，将停止运行并提供解释。 寻找极大值点，重定义函数为-f(x)即可。 2、求零点 函数fzero可以寻找一维函数的过零点。 应用：使用bode图判断控制系统稳定性，要看幅频特性过零点和相频特性过1800点。 fzero函数也可以寻找函数值等于常值点，只要重新定于函数为f(x)-c即可 3、积分 有限区域内积分函数：trapz、quad和quad8。 函数trapz通过计算梯形面积的和近似函数的积分，函数的分割是人为地。 quad使用Simpson递归方法，quad8使用Newton-costes递归方法进行数值积分。为了获得更精确的结果，它们在所需的区间都计算被积函数。quad8比quad更精确。 4、微分 微分描述了函数在一点处的斜率，是函数的微观性质，它对函数的微小变化十分敏感，函数的很小的变化，容易产生相邻点斜率的巨大变化。 尽量避免使用数值微分，尤其是试验数据的微分。如果迫切需要，最好先将试验数据进行最小二乘拟合伙这三次样条拟合，然后对拟合函数进行微分。 5、FFT变换 FFT即快速傅立叶变换，是数据分析的基本方法，是x由基2的快速变换算法来计算。如x长度不是精确的2次幂则后面使用0填充，ifft(x)是向量x的离散傅立叶变换的逆变换。 在频率轴上绘制FFT曲线，要明确FFT结果与实际频率点的关系。设n个数据点，采样频率为fs，则Nyquist频率或n=N/2+1点与实际频率的关系：f=(num-1)*fs/n FFT 需要注意的是fft结果为复数矩阵，为了得到幅频特性，可使用abs函数，使用atan2得到相角，由于有的系统的相角可能大于1800，而相角函数值域在-1800~1800之间，需要使用unwrap函数展开折叠的相角，从而得到相频特性。 6 微分方程数值解 常微分方程数值解用逐步积分方法实现，Runge-Kutta法是应用最多的微分方程数值解的方法。两种Runge-Kutta

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