第五章第六章 第五章 测量误差基本知识 内容提要第六章 内容提要： 第五章 测量误差基本知识               学习要点    ◆建立测量误差的基本概念    ◆观测值的中误差    ◆观测值函数的中误差        ——误差传播定律    ◆权的概念    #测量误差的基本概念 5.1  测量误差的分类 一.产生测量误差的原因 二.测量误差的分类和处理原则 三.偶然误差的特性 讨论测量误差的目的：     用误差理论分析、处理测量误差，评定   测量成果的精度，指导测量工作的进行。 一.产生测量误差的原因 一.产生测量误差的原因 ?产生测量误差的三大因素： 仪器原因  仪器精度的局限,轴系残余误差,等。 人的原因  判断力和分辨率的限制,经验,等。 外界影响  气象因素(温度变化,风,大气折光,  ?结论：观测误差不可避免(粗差除外) ?有关名词：观测条件，等精度观测。     上述三大因素总称为观测条件，在上述条件基本   一致的情况下进行的各次观测，称为等精度观测。 二.测量误差的分类和处理原则 二.测量误差的分类和处理原则  ?处理方法： 1.对测量结果加改正数消除               2.外业操作时抵消 1.系统误差 ——误差出现的大小、符号相同，或按                规律性变化，具有积累性。 ?结论：系统误差可以消除。 两类测量误差：系统误差、偶然误差 例：             误差             处理方法   钢尺尺长误差?Dk    计算改正   钢尺温度误差?Dt    计算改正    水准仪视准轴误差i  操作时抵消(前后视等距)   经纬仪视准轴误差C  操作时抵消(盘左盘右取平均)          ……                     …… 2.偶然误差 2.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相               同，表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，     导致观测值产生误差? 。 ?特点：具有抵偿性。 ?处理原则：采用多余观测，减弱其影响，提             高观测结果的精度。 ?偶然误差是由人力所不能控制的因素所引起   的误差。 三.偶然误差的特性 三.偶然误差的特性    1.偶然误差的定义：          设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，   得n个观测值            ，则产生了n个真误   差           ： (5-1-1) ?当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统   计学上的规律性：偶然误差具有正态分布的特性。   (P121 表5-1  图5-1) 2.偶然误差的特性 频率直方图 ?偶然误差具有正态分布的特性       -21     -15     -9       -3    +3      +9    +15   +21         -24     -18   -12      -6       0       +6   +12   +18   +24 x=?   y 正态分布曲线 四个特性：有界性，趋向性，对称性，抵偿性： (5-1-2) 表5-2的频率直方图 5.2  衡量精度的标准 精度：是指在对某一量的多次观测中，各个观测值之间的离散程度。若观测值非常集中，则精度高；反之，则精度低。主要取决于偶然误差。衡量精度的标准主要有：中误差、相对误差和中误差。 一、中误差：又称标准误差，以m表示，用来衡量观测值精度的高低。 在相同的观测条件下，对某未知量进行n次观测，其观测值为       l1、 l2 、… 、ln，若该未知量的真值为x，由可得相应的真误差      △1、△2、…、△n(注：△i=li-x)。则中误差可由各真误差平方的平均值进行计算：         式中:  由上式可见，中误差与与真误差的关系，它不等于真误差，只是一组观测值的精度指标，中误差越小，误差分布得越密集，相应的观测成果的精度就越高，中误差越大，误差分布得越离散，相应的观测成果的精度越低。 例：设有A、B两个小组，对一三角形进行了十次观测，分别求出真误差为： A：-6″、+5″、+2″、+4″、-2″、+8″、-8″、-7″、+9″、-4″ B：-11″、+6″、+15″、+23″、-7″、-2″、+13″、-21″、0″、-18″ 试求A、B两组观测值的中误差。 解：                                   可见A组观测精度比B组高。         在观测次数n有限的情况下，中误差的计算公式首先直接反映出观测成果 中是否存在着大误差，如上例B组就受到几个较大误差的影响。   二、容许误差：  在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，用来衡量观测值是否被采用的标准。又称限差。通常取2-3倍中误差作为偶然误差的容许值，即：  三、相对误差： 1、绝对误差：真误差、中误差和容许误差，仅仅表示误差本身的大小，称为绝对误差。在某种情况下，用绝对误差来评定值的精度，不能反映出观测的质量。 例：丈量两段距离，D1=100m，m1=±1cm，D2=30m，m2=±1cm ，虽然两者的中误差相等，但不能它们的丈量精度相同，显然前者精度较高。这时中误差已不能反映出观测的质量，必须用相对误差来评定。 2、相对误差：绝对误差的绝对值与相应量之比，它是一个无名数，以分子为1的分数形式来表示。     上例中，   可直观发看出，后者的精度高于前者。    #观测值的中误差 观测值的中误差 ?测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度   的标准。 一.用真误差计算中误差的公式 由偶然误差： 标准差公式： (5-1-5) 观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形。 (5-2-1) 中误差公式为： 中误差算例表5-2 ?中误差算例1 两组观测值中误差图形的比较 m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。 ?两组观测值中误差图形的比较： m1=?2.7? m2=?3.6? 用改正数计算中误差的公式 一.用改正数计算中误差的公式 观测值的真值未知时，用似真误差V计算中误差。 (5-3-4) 设某未知量的观测值为： (5-3-1) 则该量的算术平均值为： 得似真误差(改正数)： (5-4-1) 观测值的中误差： 例用改正数计算中误差 解：用算术平均值改正数V计算中误差： (5-4-1)                        按观测值的改正数计算中误差       表5-3 次序   观测值     改正数                                 计        算 1      85?42?49?      -4           16 2      85?42?40?      +5          25 3      85?42?42?      +3            9 4      85?42?46?       -1            1 5      85?42?48?       -3            9 平均 85?42?45? [ 0 ] [ 60 ] ? 例2.对某水平角等精度观测了5次，求其算术平均值及        

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