平面几何是小升初考试的必考内容，而且常常以大题形式出现，名牌中学的选拔考试几何题目，分值较高，并且难度有逐步增加的趋势，虽然几何题形式多样，但通过总结归纳，掌握小学奥数中的基本几何模型，有助于解决更多几何新题、难题。
回顾等积与倍比模型；
相似三角形模型以及燕尾（共边）定理的运用；
图形变换。
如图，长方形中，为中点，与、分别交于、，已知，，求 
注意三角形和三角形相似，
利用三角形相似的性质可以得到 ，作垂直于，且交于点，又因为为中点，则有，
所以，，，
所以。
如右图，已知，，三角形的面积是30，求阴影部分面积.
题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
（法一）连接，因为，，三角形的面积是30，，。
根据燕尾定理，，, 
所以，，
所以阴影部分面积。
       （法二）连接，有题目条件可得到，
，所以，
        ，
        而。所以阴影部分的面积为。
（08年清华附中入学考试）如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为________
【分析】连接
则可根据格点面积公式，可以得到的面积=
的面积=
所以=，所以
[拓展]如图，每个小方格的边长都是1，求三角形的面积。
[拓展]因为，且，所以，。
如下图，、、、均为各边的三等分点，线段和把三角形分成四部分，如果四边形的面积是24平方厘米，求三角形的面积。
设三角形以为底的高为,
∵；
∴；
	    ∴ 三角形以为底的高是；
	    又∵三角形以为底的高是,
∴ 三角形的面积:三角形的面积
	    所以三角形的面积(平方厘米)
	    而三角形的面积占三角形的，
所以三角形的面积是（平方厘米）。
如图，长方形中，、分别为、边上的点，，。
【分析】作；
∵，
∴，，
∴，，
        则
      。
如图所示，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求阴影部分四边形的面积之比。
（法一）设,,,。
连接知，，，；
所以；
同理。
于是；
注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形；
因此四块阴影的面积和就等于四边形的面积。
（法二）特殊值（只用于填空选择）将四边形画成正方形，就如【例11】，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形，求四边形的面积是四边形的几分之几？
如图，分层次来考虑：
（1），，
所以
又因为,,
所以；
。
（2）已知，；
所以；
所以,即是三等分点；
同理，可知、、都是三等分点；
所以再次应用（1）的结论，可知，
。
如图，在四边形中，，，，厘米，求四边形的面积。
将沿剪下，翻转，再贴在边上，如图。
即、、三点共线
即是直角三角形
四边形面积等于的面积即112.5平方厘米中，当和的长度相等时，请求出“？”所示的角是多少度，给出过程。
因为,于是可以将三角形的边边与边对齐，如图。
因为，
所以，于是
；
即，
结合只是移动的变化，所以
可得到是一个等腰梯形。于是,
（如果学生无法理解这一步，可以延长和，构造等腰梯形,
再并说明也是等腰三角形）
。
一张边长为20厘米的正方5厘米处，沿45(如右图)，中间形成一个?
如下图，延长和，相交于点。是等腰直角三角形，
(厘米)。
是等腰直角三角形，的4倍。的4倍加上小正方形的面积。
∴小正方形的面积是三角形的4倍，等于(平方厘米)。
在正方形中，、、、分别是、、、边的中点(如图)，连接线段、、、，由这四条线段在正方形中围成的小正方形的面积占大正方形面积的____分之______。  
如图，通过操作，三角形的面积=正方形的面积同理，其它相应部分的三角形面积都可转化为一个小正方形的面积，也即，大正方形是由五个小正方形组成的。所以，阴影部分的面积为大正方形面积的。
【点评】这样的解法比较巧妙，应用全等三角形的知识。一般地，还可以如下解：
因为是中点，所以，；
		所以三角形的面积=三角形=三角形=正方形,
		又根据三角形+三角形+三角形+三角形=正方形
		所以，重复加了4个类似于的三角形，少加了中间的阴影部分，都能等于大正方形，
		可知，四边形的面积=4个三角形的面积之和=正方形A=正方形。【拓展】若、、、分别是四边的三等分点(如图)，那么所得的小正方形的面积占大正方形面积的______分之______。
【分析】思路同上，但要注意，四个三角形之和=正方形=正方形。因为，又可以计算出，三角形的面积=正方形=正方形。所以空白部分的面积为（正方形的面积）,所以阴影部分的面积为。
（08年迎春杯决赛）如图，已知， ，，  ，则________
将三角形绕点和点分别顺时针和逆时针旋转，构成三角形和，再连接，显然的，，，所以是正方形。三角形和三角形关于正方形的中心中心对称，在中心对称图形中有如下等量关系：
；；。
所以。
如图所示，梯形中，平行于,又,,,试求梯形的面积。
如下图，将沿平移至,连接,在三角形中，有，，，有，所以三角形为直角三角形。梯形面积为。
如图：已知在梯形中，上底是下底的，其中是边上任意一点，三角形、三角形、三角形的面积分别为、、。求三角形的面积。
如图，设上底为，下底为,三角形与三角形的高相差为,
∵。
∴。即。
又。
∴。
如图，在正方形中，、分别在与上，且，，连接，，相交于点，过作，得到两个正方形和正方形，设正方形的面积为，正方形的面积为，则______。
连接、。设正方形边长为3，则，，所以，=+=8，=+=18。因为，=8×18=144=，所以，=12。
由梯形蝴蝶定理，得∶∶∶ ∶∶∶
所以， ==。
因为=3×3÷2=，=2×2÷2=，所以，=-=，所以， =×=。因为正方形的边长等于底边对应的高，所以，=×2÷1=，=3－=。
因为=×=，=×=，所以，∶=∶=9∶4
三角形的面积为平方厘米，为为中点，为中点，求阴影部
设交于   交于
        ，    所以阴影面积平方厘米如右图，长方形中，，，求的长。
∵，
        又，
         即。
如图，三角形是等腰直角三角形，是三角形外的一点，其中，，求四边形的面积。
因为和都是直角，和为，所以和的和为，旋转三角形，使和重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形，面积为平方厘米。
如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行，平行，对角线垂直于，已知厘米，厘米，试求六边形的面积是多少平方厘米。
如图，我们将平移使得与重合，平移使得与重合，这样就组成一个长方形，显然有面积平方厘米，即的面积为平方厘米。
羽毛球于１８７３年起源于英格兰格拉斯哥郡的巴德明顿（Ｂａｄｍｉｎｔｏｎ），１９８８年被列为汉城奥运会表演项目，后于１９９２年开始成为奥运会正式比赛项目，共设男、女单打和双打４块金牌。１９９６年亚特兰大奥运会又增设了混合双打，使奥运会羽毛球项目的金牌总数增至５枚。２００８年北京奥运会羽毛球比赛将于２００８年８月９日至１７日在北京工业大学体育馆举行。??
????国际奥委会把参加奥运会羽毛球比赛的选手限定在１７２人之内，每个项目根据世界排名选出单打前３８名、双打和混合双打各１６对选手直接参赛。但每个项目中至少包括五大洲的各１名选手或１对选手参加。这些选手必须在该洲世界排名领先。如果在世界排名中仍没有某洲的选手，则由在积分期间最近一次该洲锦标赛冠军参加。 
奥运会东道主拥有不少于两名选手参赛的权利。每个国家或地区在１个项目中最多有３个席位，多出的席位依次让给排名列后的国家和地区选手。羽毛球场地呈长方形，长１３·４米，单打场地宽５·１８米，双打场地宽６·１０米。奥运会羽毛球赛用球需经过世界羽联批准。奥运会羽毛球赛馆需将７００个适合比赛的三种速度的球储存于安全的仓库中。球拍由参赛运动员自备，由于不符合规定的球拍并未给球员带来明显的有利，因而裁判员对运动员的球拍并不做严格检查。  
????２００６年５月，羽毛球世界联合会在日本东京举行的年度代表大会上决定实行２１分的新赛制，北京奥运会也将采用这一赛制。２１分赛制对于调动运动员积极性、减少运动员受伤，以及改进电视转播效率等比原来的１５分制有更大优势。
牧人把羊群赶到牧场去放牧，看见有几只野山羊混杂在羊群里。傍晚，他将
    雨停后，牧人把所有的羊都赶向牧场。来到山下时，那些野山羊全都逃跑
会冷落我们去偏爱它们。”
    牧人喜新厌旧，野山羊识破了他的圈套逃走了。试问，如果牧人不背弃原先的羊，野山羊还会逃走吗?交朋友一样，喜新厌旧的人最终交不到一个朋友。不善待旧朋友，又怎能令新朋友信服呢?
在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！ —— 爱因斯坦  
学而思教育        五升六        竞赛123班          第二讲         教师版       Page 14 
第二讲
几何模型及
第2讲.竞赛123班.教师版.doc