板块一、相似三角形的判定及性质
（2007年北师大附中期末试题）如图，、是的边、上的点，且，求证：.
【巩固】如图，在中，于，于，的面积是面积
的4倍，，求的长.
中，为的中点，交于，连接 （）1）与是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.
2）设是否存在这样的值，使得，若存在，证明你的结论并求出值；若不存在，说明理由.
中，，，,,(),,交于点，连接.
（1）判断与，与是否分别一定相似，若相似，请加以证明.
（2）、满足什么关系时，它们就能相似.
（厦门市中考题）中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点、分别在、上，,边上的高,求.
（2007年北师大附中、2004年四川省乐山市中考试题）
如图，已知中，，，，，点在上，与点、不重合，在上.
（1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长；
（2）当的面积与四边形的周长相等时，求的长；
（3）试问：在上是否存在一点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要的说明理由；若存在，请求出的长.
【巩固】（全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形和均为正方形，求
_________.
如图，在矩形中，，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间．⑴ 当为何值时，为等腰直角三角形？
⑵ 求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论．
⑶ 当为何值时，以点为顶点的三角形与相似．
的面积是36，在边上分别取点，使得，，且与的交点为点，求的面积。
板块二、相似中的角平分线问题
如图，是的角平分线，求证：
【变式1】已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：
【变式2】已知条件同变式1，求证：
已知：、分别为的内、外角平分线，为的中点，求证：
【巩固】已知：、分别为的内、外角平分线，求证：.
已知四边形，、分别为一组对边、的两点，若
求证：、与成等角.
如图，已知是的平分线上的定点，过点任作一条直线分别交、于、.
 证明：是定值；⑵ 求的最小值
【巩固】在中，，平分交于点，求证：
板块三、型结论的证明
（2002宁夏中考试题中，，，证明：，，.
（2007年北师大附中试题）如图，中，于，于，
于，交于，、的延长线交于点，求证：.
【巩固】（河南省初三数学竞赛题）如图，，点在上，，是的中点，于，点是的中点，连接。求证：。
【巩固】（2001青岛市中考题）已知，如图正方形内接于，在斜边上，于。求证：（1）；（2）。
（据06淄博市中考题改编）已知，如图，为等边三角形，且的两边交直线于两点，求证：．
【巩固】上题中，等边改为一般等腰三角形（），在不添加辅助线的条件下：
⑴ 当与满足什么关系时，(括号里填图中已有线段)．
⑵ 证明你的结论．
如图，等腰中，，于，，延长交于，交于，
求证：．
如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，
求证：．
如上图，在中，，的垂直平分线交于，交的延长线于，
求证：平分．
已知，如图，中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．
【变式1】⑴ 若将例题中正方形改为矩形，，则矩形的边长为多少？（不需要计算结果，说说思路即可）
⑵ 若例题中的三角形不是直角三角形，且，则正方形的边长为多少？
为正方形，在线段上，在上，如果
，，求的面积．
 (2007年内江)如图，在中，，，，动点 (与点，不重合)在边上，∥交于点．
⑴ 当的面积与四边形的面积相等时，求的长．
⑵ 当的周长与四边形的周长相等时，求的长．
⑶ 试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出的长．
（2008年湖北省荆州市）如图，直角梯形中，，，，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于．已知，则的值为 （　　）
A．        B．        C．       D． 
如图，在直角梯形中，，对角线，垂足为，，过的直线交于．
⑴ ，
⑵ ．
如图，在矩形中，，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间．
⑴ 当为何值时，为等腰直角三角形？
⑵ 求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论．
⑶ 当为何值时，以点为顶点的三角形与相似．
如图，中，，于为的中点，的延长线交于．
求证：．
如图，中，，点从出发，沿方向以的速度移动，点从出发，沿方向也以的速度移动，若分别从出发，经过多少时间与相似？
（07扬州）如图，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．
⑴ 若厘米，秒，则______厘米；
⑵ 若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；
⑶ 若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；
⑷ 是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形 的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
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第2讲.相似三角形.学生版.doc