行程问题是各种竞赛与小升初入学考试必考大题，其中多人多次相遇问题是行程问题中的难点，本讲从一般的相遇与追及问题出发，讨论在环形线路、变速变向等多种行程问题，并引伸到与行程问题相类似的钟面问题。
回顾火车过桥、流水行程等问题；
环形路线上的相遇和追及问题；
速度行程问题与比例关系；
钟面上的行程问题。
一条船顺水航行48千米，再逆水航行16千米，共用了5小时；这知船顺水航行32千米，再逆水航行24千米，也用5小时。求这条船在静水中的速度。
这道题的数量关系比较隐蔽，我们条件摘录整理如下：
比较条件可知，船顺水航行48千米，改为32千米，即少行了48-32=16千米，那么逆水行程就由16千米增加到24千米，这就是在相同的时间里，船顺水行程是逆水行程的16÷8=2倍。所以“逆水航行16千米”，可转换为“顺水航行16×2=32千米），这样船5小时一共顺水航行18+32=80千米，船顺水速为80÷5=16千米，船逆水速为16÷2=8千米。船静水速为（16+8）÷2=12千米。
甲、乙二人分别从、两地同时出发，往返跑步。甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。如果他们的第四次相遇点与第五次相遇点的距离是150米，求、两点间的距离     
（法一）画图分析知甲、乙速度比为：，第四次相遇甲乙共走：4×2－1＝7（个全程），甲走了：3×7＝21（份）在点，第五次相遇甲乙共走：5×2－1＝9（个全程），甲走了：3×9＝27（份）在点,已知是150米，所以的长度是150÷6×（3+7）＝250（米）。
（法二）也有不画图又比较快的方法：第四次相遇：（2×4－1）×3÷20余数为1 则在的位置，第五次相遇：（2×5－1）×3÷20余数为7 则在的位置，表示速度基数，??，（米），即全程为250米。
如下图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？
当甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有米长。
当甲、乙之间的距离等于300米时，即甲追上乙一条边（米）需
（分），
此时甲走了（条）边，
所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。但是甲只要再走条边就可以看到乙了，即甲从出发走条边后可看到乙，共需
（分），即分秒。
乙两名选手在一条河中进行划船比赛，赛道是河中央的长方形，其中米，米，已知水流从左到右，速度为每秒1米，甲乙两名选手从处同时出发，甲沿顺时针方向划行，乙沿逆时针方向划行，已知甲比乙的静水速度每秒快1米，（、边上视为静水），两人第一次相遇在边上的点，，那么在比赛开始的5分钟内，两人一共相遇几次？（5次）
设乙的速度为米/秒，则可列得方程：
解得：所以甲的速度为米/秒甲游一圈需要秒，乙游一圈需要秒5分钟内，甲游了3圈还多20秒，乙游了2圈还多秒多余的时间不够合游一圈，所以两人合游了5圈所以两人共相遇了5次2005年《小学生数学报》优秀小读者评选活动）有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其400厘米，短跑道长300厘米，且有200厘米的公用(如下图)。机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在厘米的速度在出发，那么当迎面相遇时，机器人甲距离出发点点多少厘米?
第一次在点相遇，甲、乙共跑了400厘米(见左下)。 
第二次在点相遇，甲、乙共跑了700厘米(见右上图)。同理，第三次相遇，甲、乙又共跑了700厘米。共用时间
    (400+700+700)÷(6+4)=180(秒)，
甲跑了6×180=1080(厘米)，距点
    400×3—1080=120(厘米)。
处理多次相遇问题时，有一种常见思考方法——分段考虑。
第五届“走进美妙的数学花园”决赛如图，甲、乙两只蜗牛同时从点出发，甲沿长方形逆时针爬行，乙沿逆时针爬行．若，，，且两只蜗牛的速度相同，则当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为多少?
很显然，在这幅地图上最长的距离是长方形的对角线，如果两只蜗牛同时处于一条对角线的两端，那么这是这两只蜗牛之间的距离达到最大值.对角线有两条所以也应该分为两种情况：
情况一；甲在点，乙在点，这种情况下乙走了整数圈，甲走了若干圈又一条短边，一条长边，设乙走了圈，甲已走了圈.则可以列出不定方程：
化简为，由于等式右边是24的倍数，所以x至少应该取12，此时，两只蜗牛共走了816情况二：甲在点，乙在点，这种情况下乙走了若干圈又20，甲走了若干圈又10，设两只蜗牛分别行走了圈和圈，则可以列出不定方程：
化简为，是方程的最小解，此时，两只蜗牛一共行走了788.
显然情况二最先发生，所以当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为788事实上两只蜗牛在走过情况二之后各走了14，就变成了情况一的情形，如果在讨论两种情况之前就想到这一点，就可以少讨论一种情况了厘米，个点把这个圆周分成三等分，只爬虫，，分别在这个点上。它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行，速度分别是厘米/秒、厘米/秒、厘米/秒，只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？
（法一）先来详细讨论一下：
先考虑与这两只爬虫，什么时候能到达同一位置		开始时,他们相差厘米,每秒钟能追上的路程为5-3=2(厘米)(秒)
		因此秒后与到达同一位置.以后再要到达同一位置要追上一圈也就是追上厘米,需要(秒)		与到达同一位置,出发后的秒数是，，，，		⑵再看看与什么时候到达同一位置		第一次是出发后(秒)		以后再要到达同一位置是追上一圈,需要(秒)		与到达同一位置,出发后的秒数是，，，，……
		对照两行列出的秒数就知道出发后秒3只爬虫到达同一位置（法二）本题的数学模型其实是一个数被除余这个数被除余和，那么可得到等量关系式，整理得到，和是满足条件的最小自然数组。所以只爬虫出发后60秒多少时间第一次到达同一位置。
如图，在长为490米的环形跑道上，、两点之间的跑道长50米，甲、乙两、两点出发反向奔跑．两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度25％，乙把速度提高了20％．结果当甲跑到点时，乙恰好跑到了点．如果以后相遇后乙的速度提高20％，跑回点，即来回路程相同，乙速度变化前后的比为所花时间的比为。
设甲在相遇时跑了6单位时间，则相遇后到跑回点用了5单位时间。设甲原来每单位时间的速度，由题意得：
解得：。
从点到相遇点路程为，。
两人速度变化后，甲的速度为，乙的速度为，从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行一圈，
∴ 甲一共跑了490÷（50－40）×50＋240＝2690（米）点：因为甲前后速度比为，乙前后速度比为,
所以，乙先后在处的时间比为,也即甲先后两段路程与所用的时间比也是，
则甲所行段路程与段路程之比为。
所以，的路程为（米），BC的路程为（米）
所以，在1个单位时间内的速度为：
甲是    （米）；
乙是    （米）。
则甲追上乙的时间需要    （单位时间）
所以，甲一共行全程是     （米）
乌龟和蜗牛赛跑，跑道是周长300厘米的等边三角形。它们从三角形的同一顶点同时出发，乌龟每分钟行50厘米，蜗牛每分钟46厘米，它们每到三角形的一个顶点都要休息1分钟。出发后?   
乌龟追上蜗牛有三种情况：蜗牛在某顶点刚休息完，正准备走时，乌龟到达该顶点(追上蜗牛)。此时，乌龟比蜗牛多走一周，本来应多休息3次，但因为乌龟在最后一个顶点尚未休息，而蜗牛已经休息完了，所以乌龟比蜗牛多休息2次。蜗牛在某顶点休息了一会儿，但还没休息完，乌龟到达该点(追上蜗牛)。此时，因为蜗牛最后一次还没休息完，所以乌2次多，但不足3次。 乌龟在途中追上蜗牛(包括乌龟、蜗牛同时到达某顶点)。此时，乌龟比蜗牛多休息3次。 这三种情况到底发生哪种，这要根据乌龟、蜗牛的速度，每条边的长，到达每个顶点休息的时间等因素来确定。假设乌龟比蜗牛恰好多休息2次(即第种情况)。   设乌龟不算休息时间共行了分钟，因为蜗牛少休息2次(2分钟)，所以蜗牛共行分钟。根据乌龟比蜗牛多行1周(300厘米)，可得方程，①
        解得(分)。因为乌龟2分钟走一条边长，98是2的整数倍，乌龟刚好走到一个顶点，所以假设成立(即第种情况成立)。乌龟休息了(分)，乌龟追上蜗牛共用(分)。为什么要先假设第种情况?而不假设第种情况呢?事实上，我们先假设第种情况，解出乌龟行走的时间后，要检验行走t分后，乌龟是否刚好走到一个端点。如果是，假设成立；如果不是，假设就不成立。例如，如果将例题中三角形周长改为330厘米，其它条件不变，那么解得(分)，乌龟共行(厘米)，因为每边长110厘米，5 275不是110的整数倍，所以第种情况不成立。为了说明问题，在例题中我们再假设乌龟比蜗牛恰好多休息3次(即第种情况)。类似地，可以得到方程，   ②
解得(分)。乌龟走2分钟休息1分钟，    。
共休息54分钟。由此得乌龟追上蜗牛共用    (分)。我们检验一下出发后分钟，乌龟是否追上蜗牛。    乌龟走了分钟，共走(厘米)；蜗牛少3次，实际走了分钟，共走(厘米)。(厘米)，乌龟正好比蜗牛多走一周，乌龟在点厘米处追上蜗牛。   分钟，乌龟确实追上了蜗牛，但这不1次追上蜗牛，而是第7次追上蜗牛了!   ①式的解(分)，②式的解(分)。由前面的解题过程知道，乌龟走分钟时在某顶点1次追上蜗牛，此时蜗牛刚休息完，正准备走。当乌龟休息146厘米，因为乌龟比蜗牛走得快，2分钟，蜗牛需分钟，所以乌龟走了100分钟2次追上蜗牛，这时蜗牛还要休息云分钟才出发。同理，乌102，104，106，108分钟时，分别第3，4，5，6次追上
第3讲.竞赛123班.教师版.doc