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                                                        2010 
                                                                      2010 
                                                                  22001100 
        三年级仁华奥数课本下册 
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                                                        2010-8-6 
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                             第一讲 从数表中找规律 
    在前面学习了数列找规律的基础上，这一讲将从数表的角度出发，继续研究数列的规律 
性。 
    例1 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字. 
    分析与解答 这个数字三角形的每一行都是等差数列（第一行除外），因此，第5行中的括 
号内填20，第6行中的括号内填 24。 
    例2 用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题： 
    ① 这个三角阵的排列有何规律？ 
    ② 根据找出的规律写出三角阵的第6行、第7行。 
    ③ 推断第20行的各数之和是多少？ 
    分析与解答 
    ①首先可以看出，这个三角阵的两边全由1组成；其次，这个三角阵中，第一行由1个数 
组成，第2行有两个数…第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：三角阵中的每 
一个数（两边上的数1除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和.如：2=1+1，3=2+1， 
4=3+1，6=3＋3。 
    ②根据由①得出的规律，可以发现，这个三角阵中第6行的数为1，5，10，10，5，1；第 
7行的数为1，6，15，20，15，6，1。 
    ③要求第20行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数。 
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    至此，我们可以推断，第20行各数之和为2 。 
    [本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用] 
例3 将自然数中的偶数2，4，6，8，10…按下表排成5列，问2000出现在哪一列？ 
    分析与解答 
    方法1：考虑到数表中的数呈S形排列，我们不妨把每两行分为一组，每组8个数，则按照 
组中数字从小到大的顺序，它们所在的列分别为B、C、D、E、D、C、B、A.因此，我们只要考察 
2000是第几组中的第几个数就可以了，因为2000是自然数中的第1000个偶数，而1000÷8＝ 
125，即2000是第125组中的最后一个数，所以，2000位于数表中的第250行的A列。 
    方法2：仔细观察数表，可以发现：A列中的数都是16的倍数，B列中数除以16余2或者 
14，C列中的数除以16余4或12，D列的数除以16余6或10，E列中的数除以16余8.这就是 
说，数表中数的排列与除以16所得的余数有关，我们只要考察2000除以16所得的余数就可以 
了，因为2000÷16=125，所以 2000位于A列。 
    学习的目的不仅仅是为了会做一道题，而是要学会思考问题的方法.一道题做完了，我们还 
应该仔细思考一下，哪种方法更简洁，题目主要考察的问题是什么…这样学习才能举一反三， 
不断进步。 
    就例 3而言，如果把偶数改为奇数， 2000改为 1993，其他条件不变，你能很快得到结果 
吗？ 
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例4 按图所示的顺序数数，问当数到1500时，应数到第几列？ 1993呢？ 
    分析与解答 
    方法1：同例3的考虑，把数表中的每两行分为一组，则第一组有9个数，其余各组都只有 
8个数。 
    （1500-9）÷8＝186…3 
    （1993—9）÷8＝248 
    所以，1500位于第188组的第3个数，1993位于第249组的最后一个数，即1500位于第 
④列，1993位于第①列。 
    方法2：考虑除以8所得的余数.第①列除以8余1，第②列除以8余2或是8的倍数，第 
③列除以8余3或7，第④列除以8余4或6，第⑤列除以8余5；而1500÷8=187…4，1993÷ 
8=249…1，则1993位于第①列，1500位于第④列。 
例5 从1开始的自然数按下图所示的规则排列，并用一个平行四边形框出九个数，能否使这九 
个数的和等于①1993；②1143；③1989.若能办到，请写出平行四边形框内的最大数和最小数； 
若不能办到，说明理由. 
    分析与解答 
    我们先来看这九个数的和有什么规律.仔细观察，容易发现：12+28＝2×20，13+27=2× 
20，14+26=2×20，19+21＝ 2 × 20，即： 20是框中九个数的平均数.因此，框中九个数的和 
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等于20与9的乘积.事实上，由于数表排列的规律性，对于任意由这样的平行四边形框出的九 
个数来说，都有这样的规律，即这九个数的和等于平行四边形正中间的数乘以9。 
    ① 因为1993不是9的倍数，所以不可能找到这样的平行四边形，使其中九个数的和等于 
1993。 
    ②1143÷9＝127，127÷8＝15…7.这就是说，如果1143是符合条件的九个数的和，则正中 
间的数一定是127，而127位于数表中从右边数的第2列.但从题中的图容易看出，平行四边形 
正中间的数不能位于第1行，也不能位于从左数的第1列、第2列、第7列和第8列，因此， 
不可能构成以127为中心的平行四边形。 
    ③ 1989÷9=221，221÷8=27…5，即1989是9的倍数，且数221位于数表中从左起的第5 
列，故可以找到九个数之和为1989的平行四边形，如图： 
    其中最大的数是229，最小的数是213. 
                                     习题一 
    1.观察下面已给出的数表，并按规律填空： 
    2.下面一张数表里数的排列存在着某种规律，请你找出规律之后，按照规律填空。 
    3.下图是自然数列排成的数表，按照这个规律，1993在哪一列？ 
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