第五讲 长方体和正方体
　　长方体和正方体在立体图形中是较为简单的，也是我们较为熟悉的立体图形．
　　如下图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱．
　　在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．两个全等图形的面积相等，对应边也相等）．
　　长方体的表面积和体积的计算公式是：
　　长方体的表面积：S长方体＝2（ab＋bc＋ac）；
　　长方体的体积：V长方体＝abc．
　　正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么：
　　S正方体=6a2，V正方体=a3．
　　例1 有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体表面积的和为240平方厘米，求原来长方体的体积．
　　解：设原来长方体的底面边长为a厘米，高为h厘米，则它被截成两个长方体后，两个截面的面积和为2a2平方厘米，而这也就是原长方体被截成两个长方体的表面积的和比原长方体的表面积所增加的数值，因此，根据题意有：
　　190＋2a2＝240，可知，a2＝25，故a＝5（厘米）．
　　又因为2a2＋4ah＝190，
　　V＝a2h＝25×7＝175（立方厘米）．
　　例2 如下图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口的边长．　
　　6×3a×3a＝6×9a2（平方厘米）．
　　六个边长为a的小正方形的面积为：
　　6×a×a＝6a2（平方厘米）；
　　挖成的每个长方体空洞的侧面积为：
　　3a×a×4＝12a2（平方厘米）；
　　三个长方体空洞重叠部分的校长为a的小正方体空洞的表面积为：
　　a×a×4＝4a2（平方厘米）．
　　根据题意：6×9a2－6a2＋3（12a2－4a2）＝2592，
　　化简得：54a2－6a2＋24a2＝2592，解得a2＝36（平方厘米），故a＝6厘米．
　　即正方形截口的边长为6厘米．
　　例3 有一些相同尺寸的正方体积木，准备在积木的各面上粘贴游戏所需的字母和数目字．但全部积木的表面总面积不够用，还需增加一倍，请你想办法，在不另添积木的情况下，把积木的各面面积的总和增加一倍．
　　解：把每一块积木锯三次，锯成8块小立方体（如下图）．这样，每锯（倍），因此全部小积木的表面总面积就比原积木表面总面积增加了一倍．
4 有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米，把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，大水池水面将升高多少厘米？　
　　解：水池中水面升高部分水的体积就是投入水中的碎石体积．
　　沉入中、小水池中的碎石的体积分别是：
　　3×3×0.04＝0.36立方米，
　　2×2×0.11＝0.44立方米．
　　它们的和是：
　　0.36＋0.44＝0.8立方米．
　　把它们都沉入大池里，大池水面升高部分水的体积也应当是0.8立方米，而大池的底面面积是4×4＝16平方米，所以，大水池的水面升高：
5 下图是正方体的展开图之一，当用它组成立方体时，图中的哪一边与带★记号的边相接触呢？
　　解：对于这个问题，考虑将各面拼凑成正方体是一种方法，但如只考虑边的连接会更简洁：首先☆和G连接，其次H和I连接，且X、Y、Z三点重合为正方体的一个顶点，因此与★连接的是K边．
　　例6 下图是正方体的11种展开图和2种伪装图（即它们不是正方体的展开图）．请你指出伪装图是哪两个？
　　解：无论哪一个图中都有六个小正方形，都好像有道理，但当我们把相邻两边逐一拼合后，不能变成正方体的是（10）和（12），这两个图形，都是有五面在拼合时不成问题，但是最后一面总是挤在外面而成不了正方体．
　　例7 如下面的各图中均有若干个六面体，每小题图中的几个六面体上A、B、C、D、E、F六个字母的排列顺序完全相同（即每个小题中六面体上刻字母的方式是完全一样的）试判断各小题的图中A、B、C三个字母的对面依次是哪几个字母？
　　解：（1）由图中可知，A与B、C、E、F都相邻，故A的对面是D．E、F的位置可按右手关系得出，伸出右手，伸直大拇指按（1）中右图所示，让四指方向从A转动而指向F，此时大拇指正好指向E（向上）．如果，判断为F在C对面，由（1）中左图所示，让四指的方向从A向F，此时大拇指指向B，与（1）中右图矛盾，故F在B的对面，E在C的对面．
　　（2）～（6）按A、B、C顺序给出对面的字母：
　　（2）E、D、F；（3）F、E、D；（4）D、F、E；
　　（5）E、D、F；（6）F、E、D．
　　例8 有一块正方体的蛋糕．用刀子将它一刀切成两半，为了使切口成正六边形，应该怎样切呢？
　　解：
　　一般地，按照平常习惯的切法切下去，得到的切口成为上图中（1）的正方形或者像（2）、（3）那样的长方形．如果斜切下去时样子就不一样了，比如像（4）那样，以打算切的顶点作一方，将不相邻的某一边的中点作另一方，沿它的连接线来切，切口变成菱形．
　　如果再进一步，连接相邻边的中点，沿着它的连线来切，如上图中（5）所示，因为切口的各边都是连接边和边的中点的直线，所以长度都相等，相邻边夹角也相等，边数是六，故是正六边形．
习题五
一、填空题：
　　1．一块矩形纸板，长8厘米，宽6厘米，把它折成底面为正方形的长方体的侧面，则这个长方体的底面面积为______平方厘米．
2．有一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长是2厘米的正方体若干块，表面积增加了______平方厘米．
3．把一根2米长的方木锯成两段，表面积增加 288平方厘米，原来这根方木的体积是______立方厘米．
4．把棱长为a厘米的两个正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是
5．把棱长1厘米的正方体2100个，堆成一个实心的长方体，它的高是10厘米，长和宽都大于高，这个长方体的长与宽的和是______厘米．
　　1．一个正方体的体积是343立方厘米，它的全面积是__平方厘米．
A）42 （B）196 （C）294 （D）392
2．把棱长为3分米的正方体锯成两个长方体，这两个长方体表面积的和是______平方分米．
A）54 （B）72 （C）108 （D）以上都不对
3．如下图，一个木制的正方体的棱长为2分米，每个面的正中有一个正方形的孔通到对边，边长为1分米，孔的各棱平行于正方体相对的棱，那么这个镂空几何体的总表面积的平方分米数是____．
A）24 （B）30 （C）36 （D）42
4．如下页图立方体的每个角都被切下去（图中仅画了两个）．问所得到的几何体有__条棱？
A）24（B）30 （C）36 （D）42
5．立方体各面上的数字是连续的整数（如图）．如果每对对面上的两个数的和相等，那么，这三对数的和是__．
A）75 （B）76 （C）78 （D）81
　　1．一个木盒从外面量长10厘米，宽8厘米，高5厘米，木板厚1厘米．问①做这个木盒最少需要1厘米厚的木板多少平方厘米？②这个木盒的容积是多少立方厘米？
2．将一个长9厘米，宽8厘米，高3厘米的长方体木块锯成若干个小正方体（锯痕宽度忽略不计），然后再拼成一个大正方体，求这个大正方体的表面积．
3．一个边长为6厘米的正方体铁盒装满了水，将水倒入一个长9厘米，宽8厘米的长方形水槽内，若铁皮厚度不计，求水深．
4．把19个边长为2厘米的正方体重叠起来，作成如下图那样的组合形体，求这个组合形体的表面积．
5．将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗）．求这个大正方体的体积和表面积．
6．用字母标出一个正方体的各面，下图中是三个不同方位的这一个正方体，问字母A、B、C的对面是什么字母？
7．下图是一个正方体及其两个展开图．这个正方体还有九种不同的展开图（下图），请把这九个展开图填上相应的数字（注意数字的方向）．
　　8．下左图中的立方体，被两个平面所截，你能在这个正方体的展开图中画出相应的截线吗？（下右图）
9．在下页图所示的12个展开图中，哪些可以做成没有顶盖的五个面的小方盒？
　　10．下页图是一张3×5的方格纸，在保持每个方格完整的条件下，将它剪成三部分，使每部分都可以折成一个棱长为1的没有顶盖的小方盒，怎样剪？
习题五解答
一、填空题：
2．432平方厘米．
3．28800立方厘米．
　　5．2100÷10＝210，把210分解质因数，因为棱长为1厘米，所以符合条件（大于10厘米）的长和宽只能是15厘米和14厘米，故长与宽的和是29厘米．
　　1．
256平方厘米；
144立方厘米．
2．216平方厘米．
3．3厘米．
4．（4×9＋4×10＋4×8）×2＝216平方厘米．
5．216立方厘米，216平方厘米．
6．A对面是E，B对面是F，C对面是D．
7．
　　8．
　　9．第2，3，5，6，7，8，11，12共8个．
10．如图：

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