第六讲 立体图形的计算 在小学阶段,我们除了学习平面图形外,还认识了一些简单的立体图形,如长方体、正方体(立方体)、直圆柱体,直圆锥体、球体等,并且知道了它们的体积、表面积的计算公式,归纳如下.见下图. 在数学竞赛中,有许多几何趣题,解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计,把形象思维和抽象思维结合起来. 例1 下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的,求它的表面积. 分析与解答 求这个长方体的表面积,如果一面一面地去数,把结果累计相加可以得到答案,但方法太繁.如果仔细观察,会发现这个立体的上下、左右、前后面的面积分别相等.因此列式为: (9+8+7)×2=48(平方厘米). 答:它的表面积是48平方厘米. 例2 一个圆柱体底面周长和高相等.如果高缩短了2厘米,表面积就减少12.56平方厘米.求这个圆柱体的表面积. 分析 一个圆柱体底面周长和高相等,说明圆柱体侧面展开是一个正方形.解题的关键在于求出底周长.根据条件:高缩短2厘米,表面积就减少12.56平方厘米,用右图表示,从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分,值是12.56平方厘米,所以底面周长C=12.56÷2=6.28(厘米).这个问题解决了,其它问题也就迎刃而解了. 解:底面周长(也是圆柱体的高): 12.56÷2=6.28(厘米). 侧面积: 6.28×6.28=39.4384(平方厘米) 两个底面积(取π=3.14): 39.4384+6.28=45.7184(平方厘米) 答:这个圆柱体的表面积是45.7184平方厘米. 例3 一个正方体形状的木块,棱长为1米.若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份,如下图,共得到大大小小的长方体60块,这60块长方体的表面积的和是多少平方米? 分析 如果将60个长方体逐个计算表面积是个很复杂的问题,更何况锯成的小木块长、宽、高都未知使得计算小长方体的表面积成为不可能的事.如果换一个角度考虑问题:每锯一次就得到两个新的切面,这两个面的面积都等于原正方体一个面的面积,也就是,每锯一次表面积增加1+1=2平方米,这样只要计算一下锯的总次数就可使问题得到解决. 解:原正方体表面积:1×1×6=6(平方米), 一共锯了多少次:(次数比分的段数少1) (3-1)+(4-1)+(5-1)=9(次), 表面积: 6+2×9=24(平方米). 答:60块长方体表面积的和是24平方米. 例4 一个酒精瓶,它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),如下图.已知它的容积为26.4π立方厘米.当瓶子正放时,瓶内的酒精的液面高为6厘米.瓶子倒放时,空余部分的高为2厘米.问:瓶内酒精的体积是多少立方厘米?合多少升? 分析 由题意,液体的体积是不变的,瓶内空余部分的体积也是不变的,因此可知液体体积是空余部分体积的3倍(6÷2). 62.172立方厘米=62.172毫升 =0.062172升. 答:酒精的体积是62.172立方厘米,合0.062172升. 例5 一个稻谷囤,上面是圆锥体,下面是圆柱体(如下图).圆柱的底面周长是9.42米,高2米,圆锥的高是0.6米.求这个粮囤的体积是多少立方米? 分析 按一般的计算方法,先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积.但我们仔细想一想,如果把圆锥形的稻谷铺平,把它变成圆圆柱体,高是(2+0.2)米.这样求出变化后直圆柱的体积就可以了. 解:圆锥体化为圆柱体的高: 底面积: 体积: 7.065×(2+0.2)=15.543(立方米). 答:粮囤的体积是15.543立方米. 例6 皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中.皮球的直径为12厘米,水桶底面直径为 60厘米.皮球有 2/3的体积浸在水中(下图).问皮球掉进水中后,水桶的水面升高多少厘米? 分析 皮球掉进水中后排挤出一部分水,使水面升高.这部分水的体积的大小等于皮球浸在水中部分的体积,再用这个体积除以圆柱形水桶底面积,就得到水面升高的高度. 解:球的体积: =288 水桶的底面积:π×302=900π(平方厘米). 例7 下图所示为一个棱长6厘米的正方体,从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体,求剩下的体积是原正方体的百分之几?(保留一位小数). 分析 直圆锥底面直径是正方体的棱长,高与棱长相等. 剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积. 解:正方体体积:63=216(立方厘米). 56.52(立方厘米). 剩下体积占正方体的百分之几. (216-56.52)÷216≈0.738≈73.8%. 答:剩下体积占正方体体积的73.8%. 例8 有一个圆柱体的零件,高10厘米,底面直径是6厘米,零件的一端有一个圆柱形的直孔,如下图.圆孔的直径是4厘米,孔深5厘米.如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆,一共需涂多少平方厘米? 分析 解题时,既要注意圆柱体的外表面积,又要注意圆孔内的表面,同时还要注意到零件的底面是圆环.由于打孔的深度与柱体的长度不相同,所以在孔内还要有一个小圆的底面需要涂油漆,这一点不能忽略.但是,我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆,即原圆柱体的底面. 解:涂漆面积: 3.14×(18+60+20) =3.14×98=307.72(平方厘米). 答:涂油漆面积是307.72平方厘米. 习题六 1.一根圆柱形钢材,沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体,如下图.已知一个剖面的面积是960平方厘米,半圆柱的体积是3014.4立方厘米.求原来钢材的体积和侧面积. 2.在一只底面直径是40厘米的圆柱形盛水缸里,有一个直径是10厘米的圆锥形铸件完全浸于水中.取出铸件后,缸里的水下降0.5厘米,求铸件的高. 3.在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞.洞口是边长为1厘米的正方形,洞深1厘米(如下图).求挖洞后木块的表面积和体积. 4.如下图所示的一个零件,中间一段是高为10厘米,底面半径为2厘米圆柱体,上端是一个半球体,下端是一个圆锥,它的高是2厘米.求这个零件的体积. 5.塑料制的三棱柱形的筒里装着水(如下页图(1)是这个筒的展开图,图中数字单位为厘米).把这个筒的A面作为底面,放在水平桌面上,水面的高度是2厘米(如下页图(2)).问①若把B面作为底面,放在水平的桌面上,水面的高度是多少厘米? C面作为底面,放在水平桌面上,水面高度是多少厘米? 为4分米、3分米、2分米.把两堆碎石分别沉浸在中、小水缸的水中,两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米.如果将这两堆碎石都沉浸在大水缸中,大水缸中水面将升高多少厘米? 7.如下图是一个正方体,H、G、F分别为棱AB、AD、AE的中点.现沿三角形GFH的面锯掉一个角,问锯掉这块的体积是整个立方体体积的几分之几? V棱柱=S·h, S为底面积,h为高. 可见棱锥的体积是等底等高的棱柱体积的三分之一.) 习题六解答 1.3014.4×2=6028.8(立方厘米), 9603014.4(平方厘米). 答:原钢材体积是6028.8立方厘米,侧面积是3014.4平方厘米. 2.下降部分水的体积: 24厘米. 3.提示:大正方体的边长为4厘米,挖去的小正方体边长为1厘米,说明大正方体木块没被挖通,因此,每挖去一个小正方体木块,大正方体的表面积增加“小洞内”的4个侧面积. 解:6个小洞内新增加面积的总和: 11×4×6=24(平方厘米), 原正方体表面积:42×6=96(平方厘米), 挖洞后木块表面积:96+24=120(平方厘米), 体积:43-13×6=58(立方厘米). 答:挖洞后的表面积是120平方厘米,体积是58立方厘米. =150.72 答:这个零件的体积是48π立方厘米,即约150.72立方厘米. 5.解:以A为底面时,水的体积为: B面为底面时:由于以A为底面时,有水的部分占其纵截面(底边角形高度的一半,即为1.5厘米. ②以C面为底面时,水的高度为: 6.解:两堆碎石的体积之和: 3分米=30厘米,2分米=20厘米, 302×4+202×11=8000(立方厘米). 沉浸在大水缸中水面应升高高度: 4分米=40厘米, 8000÷402=5(厘米). 答:如果沉浸在大水缸中,水面升高5厘米. 7.解:将正方体沿各棱中点,依水平和垂直方向切开,可得8个相同的小正方体,每个小正方体又可切成2个小三棱柱体,每个小三棱柱体的体积是等底等高三棱锥(即锯掉的一角)体积的三倍.因此锯掉的这块体积是
小学课本(6年级上册)第06讲_立体图形的计算.doc
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