(1) 机械平移系统在所有初始条件均为零的情况下,对上式进行拉氏变换,得(2) 机械旋转系统 包含定轴旋转的机械系统用途极其广泛。其建模方法与平移系统非常相似。只是这里将质量、弹簧、阻尼分别变成转动惯量、扭转弹簧、旋转阻尼。 图3.3所示为一机械旋转系统,旋转体通过柔性轴(用扭转弹簧 表示)与齿轮连接。旋转体在粘性介质中旋转,因而承受与旋转速度成正比的阻尼力矩。 设齿轮转角 为系统输入量,旋转体转角 为系统输出量,据此建立系统的运动微分方程(忽略轴承上的摩擦)。扭转弹簧左、右端的转角分别为 、 ,设它加给旋转体的扭矩为 (当 时,弹簧的扭矩为零),则 ;旋转体上除了受弹簧的扭矩外,也受阻尼扭矩 作用,因而有扭矩平衡方程 和旋转阻尼特性方程? 由以上三式整理可得机械旋转系统运动微分方程 max.book118.com 机械系统 在控制系统中,经常要将旋转运动变换成直线运动。例如用电动机和丝杠螺母装置可控制工作台沿直线运动,见图3.55,这时可以用一等效惯量直接连接到驱动电动机的简单系统来表示。工作台等直线运动部件的质量 ,按等功原理可折算到电动机轴上,如图3.55b所示,其等效惯量为 (3.96)——丝杠螺距,定义为丝杠每转一周工作台移动的直线距离。? 此外,在控制系统中常用齿轮传动装置来改变转矩、转速和角位移,使系统的能量从一处传递到系统的另一处。图3.56a表示一对啮合的齿轮副,在理想情况下,惯量和摩擦均忽略不计。显然,齿轮副中转矩 和 ,角位移 和 ,角速度 和 ,齿数和,分度圆半径 和 存在如下关系: 事实上,实际的齿轮副是具有惯量的,且啮合齿轮之间和支承中存在粘性阻尼,这些常常是不能忽略的。图3.56b是齿轮副的等效表示法,它把粘性阻尼、惯量都当成集中参数。图中符号的意义是: , ——角位移;, ——齿轮传递转矩 , ——齿轮(包括轴)惯量;, ——齿数 , ——粘性阻尼系数 齿轮2的转矩方程可写成 (3.98) 齿轮1的转矩方程为?(3.99)式中——作用转矩,即齿轮1的输入转矩。 利用式(3.97)中 可将式(3.98)变成?(3.100) 式(3.100)表明,可以把惯量、粘性阻尼、转矩、转速和角位移从齿轮副的一侧折算到另一侧。因此,可以得出齿轮2折算到齿轮1的下列各量:惯量 ;粘性阻尼系数 ;转矩 ?;角位移;转速? 如果考虑扭转弹性变形效应,则由齿轮2折算到齿轮1时,刚度系数也应乘以 。即,若齿轮2上的扭转刚度系数为 ,齿轮1上的扭转刚度系数为 ,则折算后,齿轮1上的等效刚度 为?(3.101)?现将式(3.100)代入式(3.99),可得?(3.102)式中, 为齿轮1上的等效惯量;? 为齿轮1上的等效粘性阻尼系数。1.机床进给传动链 图3.57所示为机床进给传动链,伺服电动机通过二级减速齿轮及丝杠螺母驱动工作台。这种传动链常用于工作台的位置伺服控制系统中。为研究机床工作台的定位精度和机床的加工精度,必须建立机床进给传动链的数学模型,以了解其动态性能对加工精度的影响。 图中, 、 、 ?分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轴上的转动惯量; 、 、 分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轴上的粘性阻尼系数; 、 、 分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轴上的刚度系数; 为工作台等移动部件的质量; 为工作台移动时的粘性阻尼系数; 为丝杠螺母副的刚度系数; 为作用转矩。 下面推导以伺服电动机的转角 为输入量,工作台的位移 为输出量时该进给传动链的传递函数。为了推导其传递函数,首先可将其抽象为图3.57所示的一个简单的动力学系统模型,抽象的过程就是质量、惯量、粘性阻尼系数、刚度系数等的折算过程。当负载为零时,I轴的转矩平衡方程式为 (3.103)式中——伺服电动机输入至I轴的转角; ——工作台位移 折算到I轴上的等效当量转角,且为?(3.104)其中, ; ;L为丝杠螺距。 为I轴在转矩作用下的相对转角; 、 、 分别为工作台及各轴折算到I轴上的等效总惯量、等效总粘性阻尼系数和等效总刚度系数,其值可分别按下式计算 (3.105) (3.106) (3.107) 将式(3.104)代入式(3.103),可得 (3.108)对式(3.108)两边取拉氏变换,整理后可得系统传递函数为 (3.109)由式(3.109)可见,这是一个二阶系统,由比例环节 和振荡环节组成。
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