有限元学习报告
班级：电控研07-1班
姓名：颜    语
学号：47072135
有限元学习报告
一、有限元法原理：
1、有限元的基本概念
有限元法(Finite Element Method)是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。有限元法这个名称由美国的Clough于1960年在一篇题为“平面应力分析的有限单元法”的论文中首先提出。四十年来，以变分原理为基础建立起来的有限元法，因其理论依据的普遍性，不仅被广泛地应用于各种结构工程，而且作为一种声誉很高的数值计算方法己被普遍推广并成功地用来解决其它工程领域中的问题，它是50年代首先在连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快就广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。
“有限元”的原始概念是：用若干个子区域去代替整个连续区域，这些区域的性质可用有效个自由度来恰当的描述，再用离散系统分析中熟知的方法将其汇集在一起。在有限元发展的初期，单元性质的模型常常是从避免数学阐述的简单物理推断得出的。正如某些人认为这种方法和微分形式的阐述同样现实一样，有一个包含更为广泛普遍的定义。如同其他近似方法一样，我们把有限元定义为：
整个系统的性质通过n个有限参数（j=1,2,……,n）（i=1,2,……,n），式中，为各个单元对所考察量的贡献。
有限元近似问题最终可转为近似积分问题，于是近似积分如何形成，将成为把一个实际问题转而用有限元形式表示时的首要和关键问题。形成近似积分通常有两种方法，一类是应用变分原理，另一类是加权积分方法。有限元解法分为变分法和加权余量法，变分法从未知函数的变分方程出发，将泛涵的极值条件转化为对各展开系数的多元函数极值条件。加权余量法从线性算子方程出发，按准确解和近似解分别代入方程或边界条件后的差值定义余量，令它在算子定义域上的加权积分等于零，借以限制近似解的误差。
有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是为了进行单元分析，合则是为了对整体结构进行综合分析。
有限元法的核心在于剖分插值，它是将所研究的连续场分割为有限个单元，
然后用比较简单的插值函数来表示每个单元的解，但是它并不要求每个单元的试
探解都满足边界条件，而是在全部单元总体合成后再引入边界条件。这样，就有
可能对于内部和边界上的单元采用同样的插值函数，使方法构造极大地得到简
化。此外，由于变分原理的应用，使第二、第三及不同媒质分界面上的边界条件
作为自然边界条件在总体合成时将隐含地得到满足，也就是说，自然边界条件将
被包含在泛函达到极值的要求之中，不必单独列出，而唯一需考虑的仅是强制边
界条件(如第一类边界条件)的处理，这就进一步简化了方法的构造。
2、有限元法原理的一般步骤
1.基本思路和解题步骤
(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。(4)单元分析将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。(5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。(7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。(1)剖分插值
①场域剖分，即将连续场离散为有限个单元。
有三点要求：a.各单元只有顶点相交
            b.不同单元的相同顶点的电位不同
            c.编号（方向要相同）最好逆时针
②构造插值函数(以三角剖分为例)
任一单元e(I,j,m)，单元内任一点
      (1)
(2)条件变分问题
对（1）式求导得
又因为
∴
                令
(3)建立线性代数方程组
取极值即令，
＝0
(3)K阵的单元计算与总体合成
①单元分析
3.有限元分析程序流程
变分原理是有限元法的基础，它将电磁场微分方程的边值问题转化为等价的泛函的极值问题，用部分插值的方法建立各自由度间的相互关系，把二次泛函的极值问题转化为一组多元代数方程组来求解。
有限元的求解过程很复杂，在进行前期的准备工作和后期的整理分析时，若依靠手工进行处理，工作量非常巨大，步骤非常繁琐，而且特别容易出错。随着计算机性能的飞速发展，大大便利了有限元分析的应用。
有限元的求解过程一般包括前处理、数值计算和后处理三个步骤，下面简单介绍一下有限元分析程序的基本流程。
(1)输入数据。
(2)可视化前处理程序。首先进行自动剖分程序，将场域进行三角元剖分，并用图形显示剖分结果；然后进行媒质分配、电流区域的电流密度赋值以及有限元处理；最后进行第一类及第二类边界条件的数据输入。所有程序运行的结果都可视化，即将各种处理结果用图形显示，各种不同的区域以及各种边界涂以不同的颜色。这样，各种数据的处理结果一目了然，极大地简化了检查过程。
(3)有限元法的系数矩阵形成以及非线性方程组的求解。由于场域中含有非线性铁磁物质，系数矩阵元素为非线性，有限元方程为非线性方程组。
(4)后处理程序。主要内容有：第一，绘制等位线，在绘图程序中，调用节点矢量磁位数据库，将矢量磁位相同的点连在一条曲线上，并用曲线拟合的方法，得到直观的等位线图。第二，磁密的计算、显示及查询。
有限元法分析程序框图
二、轴对称磁场的有限元分析
磁场有限元计算方法的基础是变分原理，即将磁场微分方程的边值问题转化为等价的能量泛涵的极值问题，然后再离散化求解。
凡变量的值是依赖一个或几个函数的选取而确定者，这个变量就叫做泛涵。简单的说，泛涵就是函数的函数。变分方法是研究求泛涵的极大值或极小值的方法，凡有关求泛涵的极值问题都叫做变分问题。泛涵的极小值问题称为基本变分问题。
磁场微分方程边值问题与能量泛涵极值问题具有等价性，所以我们可以把边值问题转化为变分问题，得出微分方程，从而达到便于应用的目的。
轴对称场是一种二维
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