首先确认足球皮的构成，它是由12个正五边形和20个正六边形组成的，且五边形同六边形边长相等，
                  w
确定正边形的边长（L）与球体直径（D）的关系
1.首先要确定正边形在球体上的位置. 为了计算方便，我们先将正边形的曲边模拟成直边。如右上图2
所示，正边形必须与球体相切，图示点的位置即为切点。
2.计算特征边长，下图3所示的“赤道”线，恰好穿过10个正六边形，且穿过每个正六边形的距离相等，
  也就是说“赤道”线在每个正六边形上的距离（如图4弧AB）是十分之一个周长即πD /10，而弦AB
的长度正好等于3L/2(如图5)，由此推出公式L=2*D*SIN(18)/3（图6）.
确定其他公式
1. 五边形的偏角A
       A角对应的正弦边长度＝五边形的内切圆半径＝L*tan(54)/2
       Sin A = (L*tan(54)/2) / (D/2) = tan(54)*sin(18)*2 / 3
         A=ASIN(TAN(54)*SIN(18)*2/3)*PI()/180   / 注：按UG的表达式标准书写
2. 六边形的偏角B
B角对应的正弦边长度＝六边形的内切圆半径＝L*tan(60)/2
        Sin B = (L*tan(60)/2) / (D/2) = tan(60)*sin(18)*2 / 3
         B=ASIN(TAN(60)*SIN(18)*2/3)*PI()/180   / 注：按UG的表达式标准书写
3. 五边形的偏移高度H
      H=D*COS(A)/2
   注：六边形的高度也可以求，但知道五边形的H值就可以画出足球皮了
四、UG表达式书写
五、绘制足球皮
1. 画基础球体 插入  成形特征  球，输入直径=D（注意大小写）, 定位到原点。
2. 画正五边形 插入  曲线  多边形，输入边数＝5，边长＝L，定位到0，0，H  /注：直接输入H
3. 画正六边形 插入  曲线  多边形，输入边数＝6，边长＝L，角度=30, 定位到-S，0，H
       编辑  转换，选中正六边形，绕重合边旋转角度A+B,如图9
4. 由直线生成球皮曲线 插入  曲线操作  投影曲线，将正五边形和正六边形投影到球体上，如图10
5. 为了下一步凸垫操作简单，切除一半球体 插入  特征操作  裁剪，去除－Z方向的球体.
6. 以步骤4中生成的曲线按凸垫方法生成五边形和六边形的球皮
7. 通过镜像方法，生成余下30块球皮
大功告成！
附PART文件
在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式给出了单联通多面体的面、边和顶点之间存在的关系：
V + F – E = 2 
其中，V为顶点数之和，F为给定多面体的面数之和，E为边数之和。
足球有多少个黑块和白块?
可把足球的表面近似地看成是由正五边形和正六边形围成的多面体,通过观察,可以发现
每个正五边形的周围都是正六边形,每个正六边形周围有三个正五边形和三个正六边形.(注)
    设有x个正五边形,有y个正六边形.现在我们用x与y表示出这个多面体的顶点数V、面数F和棱数E,再利用欧拉公式  V+F-E=2,计算出x与y的值.
    容易计算出: V=5x, F=(x+y), E= 5x/2 ,代入欧拉公式得
       5x + (x+y) - 5x/2 = 2            ①
    又因为顶点数也可以利用正六边形进行计算,即V= 3y,所以
       5x = 3y                          ②
由①, ②得x = 12, y = 20,即足球有12个黑块和20个白块.
注：即每两个不同正五边形的顶点之间的连线即为正六边形的边
A
B
A
B
图1
足球皮的块数定义参见页尾，不再赘述
图2
图3
图4
图6
图5
图7
注：也可追加S＝(TAN(54)+TAN(60))*L/2，
以方便定位正六边形
当然也可直接生成，再用transform移动
图8
图8
图9
图10
图11
第一步：选定一般方法来作凸垫
图12
第二步：选定半球体来作放置面，并勾掉附着凸垫选项
图13
第三步：选择轮廓曲线之前将斜度设置为0
图14
第四步：先选择正五边形曲线作为轮廓曲线
图15
第五步：选定顶面参数，将偏移值设为5
图16
第五步：生成正五边形凸垫
 用相同方法生成正六边形凸垫
 顶面倒圆角R＝2

足球建模超详细教材.doc