第五讲 线性代数中的数值计算问题 【引 例 】求下列三阶线性代数方程组的近似解 在MATLAB命令窗口，先输入下列命令构造系数矩阵A和右端向量b： A=[2 -5 4;1 5 -2;-1 2 4] A =  2    -5     4      1     5    -2     -1     2     4 b=[5;6;5] b =  5      6      5 然后只需输入命令x=A\b即可求得解x： x=A\b x = 2.7674     1.1860     1.3488  1.零矩阵:所有元素值为零的矩阵称为零矩阵。零矩阵可以用zeros函数实现。zeros是MATLAB内部函数，使用格式如下： zeros(m)：产生m?  m阶零矩阵； zeros(m,n)：产生m?   n阶零矩阵，当m=n时等同于zeros(m)； zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。 2.幺矩阵:所有元素值为1的矩阵称为幺矩阵。幺矩阵可以用ones函数实现。它的调用格式与zeros函数一样。 【例1】 试用ones分别建立3?2阶幺矩阵、和与前例矩阵A同样大小的幺矩阵。 用ones(3,2) 建立一个3?    2阶幺阵： ones(3,2) % 一个3?2阶幺阵 ans =1     1      1     1      1     1 3.单位矩阵:主对角线的元素值为1、其余元素值为0的矩阵称为单位矩阵。它可以用MATLAB内部函数eye建立，使用格式与zeros相同。 4.数量矩阵:主对角线的元素值为一常数d、其余元素值为0的矩阵称为数量矩阵。显然，当d=1时，即为单位矩阵，故数量矩阵可以用eye(m)*d或eye(m,n)*d建立。 6.用一个向量V构成一个对角阵 设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个m?m阶对角阵，其主对角线的元素值即为向量的元素值；diag(V,k)将产生一个n?n(n=m+|k|，k为一整数)阶对角阵，其第k条对角线的元素值即为向量的元素值。注意：当k＞0，则该对角线位于主对角线的上方第k条；当k＜0，该对角线位于主对角线的下方第|k|条；当k=0，则等同于diag(V)。用diag建立的对角阵必是方阵。 一、 特殊矩阵的实现 v =[1;2;3]; % 建立一个已知的向量A A=diag(v) A=   1     0     0      0     2     0      0     0     3 B=diag(v,1) B =  0     1     0     0      0     0     2     0      0     0     0     3      0     0     0     0 C=diag(v,-1) C =  0     0     0     0      1     0     0     0      0     2     0     0      0     0     3  7.从矩阵中提取某对角线 我们也可以用diag从矩阵中提取某对角线构成一个向量。设A为m ?  n阶矩阵，diag(A)将从矩阵A中提取其主对角线产生一个具有min(m,n)个元素的向量。diag(A,k)的功能是： 当k＞0，则将从矩阵A中提取位于主对角线的上方第k条对角线构成一个具有n-k个元素的向量；当k＜0，则将从矩阵A中提取位于主对角线的下方第|k|条对角线构成一个具有m+k个元素的向量；当k=0，则等同于diag(A)。 【例3】 已知矩阵A，试从矩阵A分别提取主对角线及它两侧的对角线构成向量B、C和D。 MATLAB程序如下： A=[1 2 3;4 5 6];       % 建立一个已知的2?3阶矩阵A % 按各种对角线情况构成向量B、C和D B=diag(A) B =  1      5 C=diag(A,1) C =  2      6 D=diag(A,-1) D =  4  8.上三角阵：使用格式为triu(A)、triu(A,k) 设A为m?n阶矩阵，triu(A)将从矩阵A中提取主对角线之上的上三角部分构成一个m?  n阶上三角阵；triu(A,k)将从矩阵A中提取主对角线第|k|条对角线之上的上三角部分构成一个m?n阶上三角阵。注意：这里的k与diag(A,k)的用法类似，当k＞0，则该对角线位于主对角线的上方第k条；当k＜0，该对角线位于主对角线的下方第|k|条；当k=0，则等同于triu (A) 【例4】试分别用triu(A)、triu(A,1)和、triu(A,-1)从矩阵A提取相应的上三角部分构成上三角阵B、C和D。 MATLAB程序如下： A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;9 8 7];     % 一个已知的4?3阶矩阵A % 构成各种情况的上三角阵B、C和D B=triu(A) B =  1     2     3      0     5     6      0     0     9      0     0     0 C=triu(A,1) D=triu(A,-1) 10.空矩阵 在MATLAB里，把行数、列数为零的矩阵定义为空矩阵。空矩阵在数学意义上讲是空的，但在MATLAB里确是很有用的。例如 A=[0.1 0.2 0.3;0.4 0.5 0.6]; B=find(A 1.0) B = [ ] 这里[ ]是空矩阵的符号，B=find(A 1.0)表示列出矩阵A中值大于1.0的元素的序号。当不能满足括号中的条件时，返回空矩阵。另外，也可以将空矩阵赋给一个变量，如： B=[ ] B = [ ]  对于N?N阶方阵A，所谓A的特征值问题是：求数λ和N维非零向量x（通常为复数），使之满足下式： A. x=λ? x 则称λ为矩阵A的一个特征值（特征根），而非零向量x为矩阵A的特征值λ所对应的特征向量。 对一般的N?  N阶方阵A，其特征值通常为复数，若A为实对称矩阵，则A的特征值为实数。 MATLAB提供的内部函数eig可以用来计算特征值与特征向量。eig函数的使用格式有五种，其中常见的有E=eig(A)、[V,D]=eig(A)和[V,D]=eig(A,’nobalance’)三种，另外两种格式用来计算矩阵的广义特征值与特征向量：E=eig(A,B)和[V,D]=eig(A,B)。  (1) E=eig(A)：由eig(A)返回方阵A的N个特征值，构成向量E； (2) [V,D]=eig(A)：由eig(A)返回方阵A的N个特征值，构成N?N阶对角阵D，其对角线上的N个元素即为相应的特征值，同时将返回相应的特征向量赋予N?N阶方阵V的对应列，且A、V、D满足A?V=V? D； (3) [V,D]=eig(A,’nobalance’)：本格式的功能与格式(2)一样，只是格式(2)是先对A作相似变换(balance)，然后再求其特征值与相应的特征向量；而本格式则事先不作相似变换； (4) E=eig(A,B)：由eig(A,B)返回N?N阶方阵A和B的N个广义特征值，构成向量E。 (5) [V,D]=eig(A,B)：由eig(A,B)返回方阵A和B的N个广义特征值，构成N? N阶对角阵D，其对角线上的N个元素即为相应的广义特征值，同时将返回相应的特征向量构成N?N阶满秩矩阵，且

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