在本例中：  试验目的：提高磁鼓电机的输出力矩  试验指标：输出力矩  确定因子与水平：经分析影响输出力矩的可能因                                 子及水平见表2.3-2  表2.3-2    因子水平表  选表：首先根据因子的水平数，找出一类正交表  再根据因子的个数确定具体的表              把因子放到表的列上去，称为表头设计把放因子的列中的数字改为因子的真实水平，便成为一张试验计划表，每一行便是一个试验条件。在正交设计中n个试验条件是一起给出的的，称为“整体设计”，并且均匀分布在试验空间中。 表头设计     A      B      C  列号     1      2      3       4  一、散布图  60 50 40 0.15 0.20 0.10 x y [例2.2-1]的散布图  二、相关系数  1．相关系数的定义          在散布图上 n 个点在一条直线附近，但又不全在一条直线上，称为两个变量有线性相关关系，可以用相关系数 r 去描述它们线性关系的密切程度  其中  性质：                      表示n个点在一条直线上，这时两个变量间完全线性相关。  r 0表示当x增加时y也增大，称为正相关  r 0表示当x增加时y减小，称为负相关           r=0表示两个变量间没有线性相关关系，但并不排斥两者间有其它函数关系。  2．相关系数的检验          若记两个变量x和y理论的相关系数为      ，其中x为一般变量，y服从等方差的正态分布，则         对给定的显著性水平     ，当                     可以认为两者间存在一定的线性相关关系，                     可以从表2.2-2中查出。（其中n为样本量）。  3．具体计算  求上例的相关系数：  步骤如下：  （1）计算变量x与y的数据和：  Tx=        =1.90,  Ty=       =590.5  （2）计算各变量的平方和与乘积和：  （3）计算Lxx,Lyy,Lxy：  Lxy =95.9250-1.90×590.5/12=2.4292  Lxx =0.3194-1.902/12=0.0186  Lyy =29392.75-590.52/12=335.2292  （4）计算r：          在    =0.05时，                      ，由于r 0.576，说明两个变量间有（正）线性相关关系。  四、一元线性回归方程  1.  一元线性回归方程的求法：  一元线性回归方程的表达式为  其中a与b使下列离差平方和达到最小：  通过微分学原理，可知  ，  称这种估计为最小二乘估计。  b 称为回归系数；a一般称为常数项。  ?  求一元线性回归方程的步骤如下：  （1）计算变量x与y的数据和Tx，Ty； （2）计算各变量的平方和与乘积和； （3）计算Lxx,Lxy； （4）求出b与a； 利用前面的数据，可得：  b=2.4392/0.0186=130.6022  a=590.5/12-130.6022 ×1.90/12=28.5297  （5）写出回归方程：    画出的回归直线一定通过（0，a）与                两点  上例：  或 2.  回归方程的显著性检验  有两种方法：  一是用上述的相关系数；          二是用方差分析方法（为便于推广到多元线性回归的场合），将总的离差平方和分解成两个部分：回归平方和与离差平方和。  总的离差平方和：  回归平方和：  离差平方和：  且有ST=SR+SE，其中   它们的自由度分别为：  fT=n-1，fR=1，fE=n-2=fT-fR  计算F比，          对给定的显著性水平    ，当                         时认为回归方程是显著的，即回归方程是有意义的。一般也列成方差分析表。  对上面的例子，作方差分析的步骤如下：  根据前面的计算  （1）计算各类平方和：  ST=Lyy=335.2292，                                  fT=12-1=11 SR=bLxy=130.6022×2.4292=317.2589，fR=1 SE=335.2292-317.2589=17.9703，           fE=11-1=10  （2）列方差分析表：  [例2.2-1]的方差分析表  对给定的显著性水平    =0.05，有  F0.95(1,10)=4.96          由于F 4.96，所以在0.05水平上认为回归方程是显著的（有意义的）。  3．利用回归方程进行预测  对给定的           ，y的预测值为  概率为         的y的预测区间是   其中          当n较大，   与    相差不大，那么可给出近似的预测区间，此时  进行预测的步骤如下：  （1）对给出的x0求预测值  上例，设x0 =0.16，则  （2）求    的估计  上例有  （3）求          上例n=12，如果求概率为95%的预测区间，那么t0.975(10)=2.228，所以  （4）写出预测区间  上例为(49.43-3.11,49.43+3.11)=(46.32,52.54)          由于u0.975=1.96，故概率为0.95的近似的预测区间为： ∵ ∴         所求区间： （49.43-2.63，49.43+2.63）=（46.80，52.06）         相差较大的原因总n较小。 四、可化为一元线性回归的曲线回归         在两个重复的散布图上，n个点的散布不一定都在一条直线附近波动，有时可能在某条曲线附近波动，这时以建立曲线回方程为好。  1.  确定曲线回归方程形式  2.  曲线回归方程中参数的估计          通过适当的变换，化为一元线性回归的形式，再利用一元线性回归中的最小二乘估计方法获得。  回归曲线的形式： （1）                 ，（a 0，b 0）  （2）                      ，（b 0）  （3）                      ，（b 0）  （4）                                         ，（b 0）  3.  曲线回归方程的比较  常用的比较准则：       （1）要求相关指数R大，其平方也称为决定系数，它被定义为：  （2）要求剩余标准差s小，它被定义为：  第三节    试验设计  一、试验设计的基本概念与正交表  （一）试验设计          多因素试验遇到的最大困难是试验次数太多，若十个因素对产品质量有影响，每个因素取两个不同状态进行比较，有210=1024、如果每个因素取三个不同状态310=59049个不同的试验条件          ?  选择部分条件进行试验，再通过数据分析来寻找好的条件，这便是试验设计问题。通过少量的试验获得较多的信息，达到试验的目的。          ?  利用正交表进行试验设计的方法就是正交试验设计。  （二）正

第2章  常用统计技术（中级）.ppt