1.8  线性代数 1.阶行列式概念 逆序数 n阶行列式的定义 2. n阶行列式的性质 3.克拉默法则 1) 加法 2) 数与矩阵相乘 3) 矩阵与矩阵相乘 4）矩阵的转置 6）逆矩阵 5.矩阵的初等变换 max.book118.com  线性方程组 2. 线性方程组解的结构  定义     对于  阶方阵  ，如果有一个  阶方阵        则说方阵 是可逆的，并把方阵  称为  的逆矩阵. 使得 定理1    方阵  可逆的充要条件是      ，且　　　　　　                 二阶矩阵的逆矩阵用该公式求，三阶及以上矩阵的逆矩阵用初等变换求。 逆矩阵的运算性质 解： P57    例1-51 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 定义2    矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．       初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．         同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)． 逆变换 逆变换 逆变换 初等变换的作用 1)求逆矩阵 2)求矩阵和向量组的秩 3)解线性方程组 6.矩阵的秩 求矩阵秩的方法：         把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例6 解 由阶梯形矩阵有三个非零行可知 max.book118.com   n 维向量        若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 1.  向量及向量组的概念 2.向量组的线性相关性 1)  线性组合 2) 一个向量能由一个向量组线性表示 3)  两个向量组等价 定理1 解：考虑 定义 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 由定义可得： 1、任一向量组不是线性相关就是线性无关。 2、含零向量的向量组一定线性相关。 3、单个非零向量一定是线性无关。 4、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。 定理2 解 例8 定理 （1）部分相关整体相关。            （2）线性无关的向量组，将分量      延长后仍然线性无关。          （3）m 个n 维向量，当维数n 小    于向量个数m 时一定线性相关。 3. 最大无关组与向量组的秩 定义 注：只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0. 推论1 推论2 1. 线性方程组有解的判定条件 一、行列式 二、矩阵 三、n 维向量 四、线性方程组 五、矩阵的特征值和特征向量 六、二次型 　　把  个不同的元素排成一列，叫做这  个元 素的全排列（或排列）． 　　　个不同的元素的所有排列的种数用  表示， 且　　　．           max.book118.com  行列式 全排列 　　逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列． 　　在一个排列               中，若数     ， 则称这两个数组成一个逆序． 　　一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数． 余子式与代数余子式 定理 定理 4.行列式计算 二阶、三阶行列式用对角线法 利用行列式性质化为上下三角 利用展开定理降阶 P54    例1-49,1-50 例1 解 方程左端 例2     计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 解 此排列为偶排列. 例3 max.book118.com  矩阵 1.矩阵的概念 记作 简记为    2）两个矩阵              为同型矩阵,并且对应元素相等,即 则称矩阵     相等,记作 同型矩阵与矩阵相等 1）两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵. 2.几种特殊矩阵 (2)只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量). 行数与列数都等于  的矩阵  ，称为  阶 方阵.也可记作 只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量).              称为对角 矩阵(或对角阵）. （3） 形如                的方阵, 不全为0 记作       （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，     零 矩阵记作     或   . 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如 (5)单位阵：对角线上全为1的对角阵 称为单位矩阵（或单位阵）. 全为1 (6)对称矩阵 定义 设     为     阶方阵，如果A的元素满足           那末     称为对称阵. 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相                                   等. 说明 定义 行列式       的各个元素的代数余子式     所 构成的如下矩阵 性质 称为矩阵    的伴随矩阵. (7）伴随矩阵 设有两个          矩阵                                 那末矩阵          与    的和记作         ，规定为 3.矩阵的运算 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. 并把此乘积记作 设               是一个          矩阵，            是一个                   矩阵，那末规定矩阵   与矩阵   的乘积 是一个          矩阵                ，其中 注意　只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘. 例4 注：（1）矩阵乘法一般不满足交换律； （其中     为数）;          若A是    阶方阵，则       为A的     次幂，即                                  并且  （注：单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1） 定义     把矩阵    的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做    的转置矩阵，记作      . 例 转置矩阵的运算性质 注：若A为对称阵，则 5）方阵的行列式 定义    由    阶方阵     的元素所构成的行列式， 叫做方阵      的行列式，记作       或 运算性质 

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