几何探究----线段类 1.(09东营)已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG. (1)求证:EG=CG; (2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. (3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明) 2.(1)操作一:如图14-1,在正方形ABCD的边BC的延长线上取线段CG(CG>BC),作正方形CGEF,取线段AE的中点M,连结DM、FM。 探究:通过观察或测量,猜想出线段MD、MF的关系,并加以证明 (2)操作二:如图14-2,把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M,连结DM、FM。 探究:猜想出线段MD、MF的关系,再加以证明。 (3)推广:如图14-3,将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后,其他条件不变时,线段MD、MF的上述关系仍然成立,请你证明 3、(09河北)在图14-1至图14-3中,点B是线段AC的中点,点D是线段CE的中点.四边形BCGF和CDHN都是正方形.AE的中点是M. (1)如图14-1,点E在AC的延长线上,点N与点G重合时,点M与点C重合,求证:FM = MH,FM⊥MH; (2)将图14-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图14-2,求证:△FMH是等腰直角三角形; (3)将图14-2中的CE缩短到图14-3的情况,△FMH还是等腰直角三角形吗?(不必说明理由) 在ABC中,DE分别是AB、AC上,DEBC,将DE绕顺时针旋转BD,EN=CE,得到图③,请解答下列问题: (1)若AB=AC,请探究下列数量关系: ①在图②中,BD与CE的数量关系是________________; ②在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想; (2)若AB=k·AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明. 5、 (07河北)在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于 点G,一等腰三角尺按如图15-1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点E。 (1)在图15-1中请你通过观察,测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想。 (2)当三角尺沿AC方向平移到图15-2所在的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E,此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想。 (3)当三角尺在(2)的甚而上沿AC方向继续平移到图15-3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由) (09十堰)如图①,四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F. (1) 求证:DE-BF = EF. (2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系, 并说明理由. (3) 若点G为CB延长线上一点,其余条件不变.请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明). 7、(08绥化)已知:正方形中,,绕点顺时针旋转,它的两边分别交(或它们的延长线)于点. 当绕点旋转到时(如图1),易证. (1)当绕点旋转到时(如图2),线段和之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明. (2)当绕点旋转到如图3的位置时,线段和之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想. 8、(06年黑龙江省)已知∠AOB=900,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合,它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E. 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1),易证:OD+OE=OC. 当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,在图2、图3这两种情况下,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明. 9.已知∠MAN,AC平分∠MAN。 ⑴在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,求证:AB+AD=AC; ⑵在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则⑴中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由; ⑶在图3中:①若∠MAN=60°,∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=____AC; ②若∠MAN=α(0°<α<180°),∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=____AC(用含α的三角函数表示),并给出证明。 10、一位同学拿了两块45°三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动:将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=4. (1)如图13—1,两三角尺的重叠部分为△ACM,则重叠部分的面积为 ,周长为 (2)将图13—1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°,得到图13—2,此时重叠部分的面积为 ,周长为 . (3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图13—1和图13—2的图形,如图13—3,请你猜想此时重叠部分的面积为 . (4)在如图13—3的情况下,若AD= 1,求出重叠部分图形的周长. 11、(08嘉兴)小丽参加数学兴趣小组活动,提供了下面3个有联系的问题,请你帮助解决: (1)如图1,正方形中,作交于,交于,求证:; (2)如图2,正方形中,点分别在上,点分别在上,且,求的值; (3)如图3,矩形中,,,点分别在上,且,求的值. 12.(09黄石)如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。 解答下列问题: 如果AB=AC,∠BAC=90°, ①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为 ,数量关系为 。 ②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么? (2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。 试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?画出相应图形,并说明理由。(画图不写作法) (3)若AC=4,BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值。 图14-1 A H C(M) D E B F G(N) G 图14-2 A H C D E B F N M A H C D E 图14-3 B F G M N A B D C G F E 图15-3 A B D C G F E 图15-2 图15-1 B A C G F F B A D C E G 第24题图① F B A D C E G 第24题图② F B A C E 第24题图③ D M N (第24题图④) E D C B A M N (第24题图③) E D C B A E A D C B (第24题图②) (第24题图①) E D C B A F M E C G A D B 图14-3
2010几何探究证明.doc
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