2010年衡阳第27题改编题1 如图①,在平面直角坐标系中,△OAB三个顶点坐标分别为O(0,0),A(1, ),B(4,0). (1)解△OAB(即求△OAB的各边与各角); (2)若点M在第一象限,以M、B、O为顶点的三角形与△OAB相似,求点M的坐标. 解答或提示 〖关键词·解三角形·三角形相似·分类讨论〗 (1)先求三边长:OB=4,OA=2,AB=;用勾股定理的逆定理证∠OAB=90o.然后解直角三角形,得∠AOB=60o,∠ABO=30o. (2)按直角的不同位置分三种情况讨论: 若∠MOB=90o,则点M在y轴,不在第一象限; 若∠MBO=90o,再分两种情况讨论:若∠MBO=30o,则M;若∠MBO=60o,则M; 若∠BMO=90o,则∠MBO=30o,M(. 2010年衡阳第27题改编题2 如图②,在平面直角坐标系中,△OAB三个顶点坐标分别为O(0,0),A(1, ),B(4,0).点D的坐标为(0,-3).若P为DB上一点,PB=1,求点P到AB的距离. 〖关键词·巧用三角形的面积·求点到直线的距离〗 解答或提示 如图,延长BA交y轴于点Q,连接PQ,过P作PM⊥AB于点M. 易求点Q,则DQ==,BQ=, =BO·DQ=. ∵DB=5,BP=1, ∴==. ∴PM===. 2010年衡阳第27题原题 如图①,在平面直角坐标系中,△OAB三个顶点坐标分别为O(0,0),A(1, ),B(4,0). (1)求证:AB⊥OA; (2)在第一象限内确定点M,使△MOB与△AOB相似,求符合条件的点M的坐标; (3)如图②,已知D(0,-3),作直线BD. ①将△AOB沿射线BD平移4个单位长度后,求△AOB与以D为圆心,以1为半径的⊙D的公共点的个数; ②如图③,现有一点P,从D点出发,沿射线DB的方向以1个单位长度/秒的速度作匀速运动,运动时间为t秒,当以P为圆心,以为半径的⊙P与△AOB有公共点时,求t的取值范围. 解答或提示 (1)用勾股定理的逆定理. (2)按直角的不同位置分三种情况讨论: 若∠MOB=90o,则点M在y轴,不在第一象限; 若∠MBO=90o,再分两种情况讨论:若∠MBO=30o,则M;若∠MBO=60o,则M; 若∠BMO=90o,则∠MBO=30o,M(. (3)①如图甲,就△AOB与⊙D的位置关系而言,△AOB沿射线BD平移4个单位长度,相当于⊙D沿射线DB平移4个单位长度. 易证点D′到BO的距离等于 1, ∵∠ABD 90o,∴D′到AB的距离小于1, ∴公共点有3个. ②如图乙,设⊙P第一次与OB相切时,切点为Q,连接PQ,易求得PQ=,PB=5-t. 依PQ=PB,列方程=(5-t).解得. 如图丙,若点P在x轴上方,⊙P过点B,∵DP=t,PB=,∴DB==5,∴t=10. ∴当≤t≤10时,⊙P与△AOB有公共点. 初中数学
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