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立体几何基础题题库二（有详细答案）
361. 有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面?
解析：有5个暴露面.
如图所示，过V作VS′∥AB，则四边形S′ABV为平行四边形，有∠S′VA=∠VAB=60°，从而ΔS′VA为等边三角形，同理ΔS′VD也是等边三角形，从而ΔS′AD也是等边三角形，得到以ΔVAD为底，以S′与S重合.
这表明ΔVAB与ΔVSA共面，ΔVCD与ΔVSD共面，故共有5个暴露面.
362. 若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是      .(只须写出一个可能的值)
解析： 该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.
排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.
由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.
对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD⊥面BCM，且VA—BCM=VD—BCM，所以
VABCD=SΔBCM·AD.
CM===.设N是BC的中点，则MN⊥BC，MN===，从而SΔBCM=×2×=，
故VABCD=××1=.
对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=·，
不妨令a=b=2，c=1，则
V=·
=·=.
363. 湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，求该球的半径.
解析：设球的半径为R，依题意知截面圆的半径r＝12,球心与截面的距离为d＝R-8，由截面性质得：r2+d2＝R2,即122+(R-8)2＝R2.
得R＝13  ∴该球半径为13cm.
364. 在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).
解析：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为S′，则Scos30°＝S′,并且S′＝9π，所以S＝6π(米2)
365. 设棱锥M—ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
解析： ∵AB⊥AD，AB⊥MA，
∴AB⊥平面MAD，
由此，面MAD⊥面AC.
记E是AD的中点，
从而ME⊥AD.
∴ME⊥平面AC， ME⊥EF
设球O是与平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.
不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心.
设球O的半径为r，则r＝
设AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.
∴ME＝.MF＝,
r＝≤＝-1
当且仅当a＝，即a＝时，等号成立.
∴当AD＝ME＝时，满足条件的球最大半径为-1.
366. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，期棱长为a.
(1)求证BD⊥截面AB1C；
(2)求点B到截面AB1C的距离；
(3)求BB1与截面AB1C所成的角的余弦值。
同理BD1⊥AB1.∴BD1⊥面ACB1.
(2)AB=BC=BB1G为△AB1C的中心.AC=a
AG=a
∴BG==a
(3)∠BB1G为所求
cos∠BB1G=
367. 已知Ｐ为ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
解析：　因M为PB的中点，连BD∩AC于O后，可将PD缩小平移到MO，可见MO为所求作的平行线．
证明  连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ，
则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，
∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，
∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ． 
368. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M，N，Ｅ，Ｆ分别是棱Ｂ1Ｃ1，A1D1，Ｄ1Ｄ，ＡＢ的中点．
（１）求证：Ａ1Ｅ⊥平面ＡＢＭＮ．
（２）平面直线A1E与MF所成的角．
解析：（１）要证A1E⊥平面ABMN，只要在平面中找到两条相交直线与A1E都垂直，显然MN与它垂直，这是因为MN⊥平面A1ADD1，另一方面，AN与A1E是否垂直，这是同一个平面中的问题，只要画出平面几何图形，用平几知识解决．（２）为（１）的应用．
证明　（１）∵AB⊥平面A1ADD1，
而Ａ1Ｅ平面A1ADD1，
∴AB⊥Ａ1Ｅ．在平面A1ADD1中，A1E⊥AN，　　
∵AN∩AB＝A，∴A1E⊥平面ABMN．
解　（２）由（１）知A1E⊥平面ABMN，而MF平面ABMN，∴A1E⊥MF，
则A1E与MF所成的角为９０°
369. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M为棱CＣ1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O⊥平面MBD．
解析：要证A1O⊥平面MBD，只要在平面MBD内找到两条相交直线与A1O都垂直，首先想到DB，先观察 A1O垂直DB吗？
方法１：发现A1O平分DB，想到什么？（△A1DB是否为等腰三角形）
∵A1D＝A1B，DO＝OB，∴A1O⊥DB．
方法２：A1O⊥DB吗？即DB⊥A1O吗？DB垂直包含A1O的平面吗？（易见DB⊥平面A1ACC1）
再观察A1O垂直何直线？DM？BM？因这两条直线与A1O均异面，故难以直接观察，平面MDB中还有何直线？易想到MO，因MO与A1O相交，它们在同一平面内，这是一个平几问题，可画出平几图进行观察．
证明　取CC1中点M，连结MO，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1，而A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB．在矩形A1ACC1中，∵tan∠AA1O=，tan∠MOC=，∴∠AA1O=∠MOC，则∠A1OA＋∠MOC＝９０°，∴A1O⊥OM，∵OM∩DB＝O，∴A1O⊥平面MBD．
370. 点P在线段AB上，且AP∶PB＝１∶２，若A，B到平面α的距离分别为a，b，求点P到平面α的距离．解析：（１）A，B在平面α的同侧时，P平面α的距离为；
（２）A，B在平面α的异侧时，P平面α的距离为．（Ａ）有且只有一个		（Ｂ）可能存在也可能不存在
（Ｃ）有无数多个		（Ｄ）一定不存在
（Ｂ）
解析：若存在，则a⊥b，而由条件知，a不一定与b垂直．
372. 在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于										（　）
（Ａ）AC	　（Ｂ）BD	　（Ｃ）A1D	　（Ｄ）A1D1
解析：（Ｂ）
BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥CE．
（Ａ）１个	（Ｂ）２个	（Ｃ）３个	（Ｄ）４个
解析：D
过P作一个与AB，AC都平行的平面，则它符合要

立体几何基础题题库（240道附详细答案）.doc