第一讲 从数表中找规律                                                           Page 1 of 4 
                                第一讲 从数表中找规律 
        在前面学习了数列找规律的基础上，这一讲将从数表的角度出发，继续研究数列的规 
     律性。 
        例1 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字. 
        分析与解答 这个数字三角形的每一行都是等差数列（第一行除外），因此，第5行中 
     的括号内填20，第6行中的括号内填 24。 
        例2 用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题： 
        ① 这个三角阵的排列有何规律？ 
        ② 根据找出的规律写出三角阵的第6行、第7行。 
        ③ 推断第20行的各数之和是多少？ 
        分析与解答 
        ①首先可以看出，这个三角阵的两边全由1组成；其次，这个三角阵中，第一行由1个 
     数组成，第2行有两个数…第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：三角阵中 
     的每一个数（两边上的数1除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和.如：2=1+1， 
     3=2+1，4=3+1，6=3＋3。 
        ②根据由①得出的规律，可以发现，这个三角阵中第6行的数为1，5，10，10，5，1； 
     第7行的数为1，6，15，20，15，6，1。 
        ③要求第20行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数。 
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        至此，我们可以推断，第20行各数之和为219。 
         [本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用] 
     例3 将自然数中的偶数2，4，6，8，10…按下表排成5列，问2000出现在哪一列？ 
        分析与解答 
        方法1：考虑到数表中的数呈S形排列，我们不妨把每两行分为一组，每组8个数，则按 
     照组中数字从小到大的顺序，它们所在的列分别为B、C、D、E、D、C、B、A.因此，我们只 
     要考察2000是第几组中的第几个数就可以了，因为2000是自然数中的第1000个偶数，而 
     1000÷8＝125，即2000是第125组中的最后一个数，所以，2000位于数表中的第250行的A 
     列。 
        方法2：仔细观察数表，可以发现：A列中的数都是16的倍数，B列中数除以16余2或者 
     14，C列中的数除以16余4或12，D列的数除以16余6或10，E列中的数除以16余8.这就是说， 
     数表中数的排列与除以16所得的余数有关，我们只要考察2000除以16所得的余数就可以 
     了，因为2000÷16=125，所以 2000位于A列。 
        学习的目的不仅仅是为了会做一道题，而是要学会思考问题的方法.一道题做完了，我 
     们还应该仔细思考一下，哪种方法更简洁，题目主要考察的问题是什么…这样学习才能举 
     一反三，不断进步。 
        就例 3而言，如果把偶数改为奇数， 2000改为 1993，其他条件不变，你能很快得到 
     结果吗？ 
     例4 按图所示的顺序数数，问当数到1500时，应数到第几列？ 1993呢？ 
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        分析与解答 
        方法1：同例3的考虑，把数表中的每两行分为一组，则第一组有9个数，其余各组都只 
     有8个数。 
         （1500-9）÷8＝186…3 
         （1993—9）÷8＝248 
        所以，1500位于第188组的第3个数，1993位于第249组的最后一个数，即1500位于第④ 
     列，1993位于第①列。 
        方法2：考虑除以8所得的余数.第①列除以8余1，第②列除以8余2或是8的倍数，第③ 
     列除以8余3或7，第④列除以8余4或6，第⑤列除以8余5；而1500÷8=187…4，1993÷ 
     8=249…1，则1993位于第①列，1500位于第④列。 
     例5 从1开始的自然数按下图所示的规则排列，并用一个平行四边形框出九个数，能否使这 
     九个数的和等于①1993；②1143；③1989.若能办到，请写出平行四边形框内的最大数和最 
     小数；若不能办到，说明理由. 
        分析与解答 
        我们先来看这九个数的和有什么规律.仔细观察，容易发现：12+28＝2×20，13+27=2 
     ×20，14+26=2×20，19+21＝ 2 × 20，即： 20是框中九个数的平均数.因此，框中九个 
     数的和等于20与9的乘积.事实上，由于数表排列的规律性，对于任意由这样的平行四边形 
     框出的九个数来说，都有这样的规律，即这九个数的和等于平行四边形正中间的数乘以9。 
        ① 因为1993不是9的倍数，所以不可能找到这样的平行四边形，使其中九个数的和等 
     于1993。 
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        ②1143÷9＝127，127÷8＝15…7.这就是说，如果1143是符合条件的九个数的和，则 
     正中间的数一定是127，而127位于数表中从右边数的第2列.但从题中的图容易看出，平行 
     四边形正中间的数不能位于第1行，也不能位于从左数的第1列、第2列、第7列和第8列，因 
     此，不可能构成以127为中心的平行四边形。 
        ③ 1989÷9=221，221÷8=27…5，即1989是9的倍数，且数221位于数表中从左起的第5 
     列，故可以找到九个数之和为1989的平行四边形，如图： 
        其中最大的数是229，最小的数是213. 
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习题一                                                                  Page 1 of 2 
                                       习题一 
        1.观察下面已给出的数表，并按规律填空： 
        2.下面一张数表里数的排列存在着某种规律，请你找出规律之后，按照规律填空。 
        3.下图是自然数列排成的数表，按照这个规律，1993在哪一列？ 
        4.从1开始的自然数如下排列，则第2行中的第7个数是多少？ 
                                       习题一解答 
        1.第5行的括号中填25；第6行的括号中填37。 
        2.这个数表的规律是：第二行的数等于相应的第三行的数与第一行的数的差的2倍. 
     即：8=2×（6—2），10＝2×（10—5），4=2×（9—7），18=2×（20—11）.因此，括号 
     内填12。 
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习题一                                                                     Page 2 of 2 
         3.1993应排在B列。 
         4.参看下表： 
         第2行的第7个数为30. 
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小学生3年级数学奥数_2.pdf