学生5 年级数学奥数 
                    试题与答案 
                           第一讲 数的整除问题 
     数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课 
题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。 
                           一、基本概念和知识 
     1.整除——约数和倍 
     例如：15÷3=5，63÷7=9 
     一般地，如a、b、c 为整数，b≠0，且a÷b=c，即整 a 除以整除b 
 （b 不等于0），除得的商c 正好是整数而没有余 （或者说余数是0）， 
我们就说，a 能被b 整除 （或者说b 能整除a）。记作b ｜a.否则，称为a 
不能被b 整除，（或b 不能整除a），记作b  a。 
     如果整 a 能被整 b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数。 
     例如：在上面算式中，15 是3 的倍数，3 是15 的约数；63 是7 的倍 
数，7 是63 的约数。 
     2.数的整除性质 
     性质1：如果a、b 都能被c 整除，那么它们的和与差也能被c 整除。 
     即：如果c ｜a，c ｜b，那么c ｜（a±b）。 
     例如：如果2 ｜10，2 ｜6，那么2 ｜（10＋6）， 
     并且2 ｜（10—6）。 
     性质2：如果b 与c 的积能整除a，那么b 与c 都能整除a.即：如果 
bc ｜a，那么b ｜a，c ｜a。 
     性质3：如果b、c 都能整除a，且b 和c 互质，那么b 与c 的积能整 
除a。 
     即：如果b ｜a，c ｜a，且（b，c）=1，那么bc ｜a。 
     例如：如果2 ｜28，7 ｜28，且（2，7）=1, 
     那么（2×7）｜28。 
     性质4：如果c 能整除b，b 能整除a，那么c 能整除a。 
     即：如果c ｜b，b ｜a，那么c ｜a。 
     例如：如果3 ｜9，9 ｜27，那么3 ｜27。 
     3.数的整除特征 
     ①能被2 整除的数的特征：个位 字是0、2、4、6、8 的整 . “ 
征”包含两方面的意义：一方面，个位 字是偶数（包括0）的整数，必 
能被2 整除；另一方面，能被2 整除的数，其个位 字只能是偶数（包括 
0）.下面 “特征”含义相似。 
     ②能被5 整除的数的特征：个位是0 或5。 
     ③能被3 （或9）整除的数的特征：各个 位 字之和能被3 （或9） 
整除。 
     ④能被4 （或25）整除的数的特征：末两位数能被4 （或25）整除。 
     例如：1864=1800＋64，因为100 是4 与25 的倍数，所以1800 是4 
与25 的倍 .又因为4 ｜64，所以1864 能被4 整除.但因为25  64，所以 
1864 不能被25 整除. 
     ⑤能被8 （或125）整除的数的特征：末三位数能被8 （或125）整除。 
     例如：29375＝29000＋375，因为1000 是8 与125 的倍数，所以29000 
是8 与125 的倍 .又因为125 ｜375，所以29375 能被125 整除.但因为 
8  375，所以8  29375。 
     ⑥能被11 整除的数的特征：这个整数的奇 位上的 字之和与偶 
位上的 字之和的差（大减小）是11 的倍数。 
     例如：判断123456789 这九位数能否被11 整除？ 
     解：这个 奇 位上的 字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶 位上的 
  字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为11  5，所以11 
123456789。 
     再例如：判断13574 是否是11 的倍 ？ 
     解：这个数的奇 位上 字之和与偶 位上 字和的差是：（4＋5 
＋1）- （7＋3）＝0.因为0 是任何整数的倍数，所以11 ｜0.因此13574 
是11 的倍数。 
     ⑦能被7 （11 或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三 
位以前的 字所组成的数之差（以大减小）能被7 （11 或13）整除。 
     例如：判断1059282 是否是7 的倍 ？ 
     解：把1059282 分为1059 和282 两个 .因为1059-282＝777，又7 ｜ 
777，所以7 ｜1059282.因此1059282 是7 的倍数。 
     再例如：判断3546725 能否被13 整除？ 
     解：把3546725 分为3546 和725 两个 .因为3546-725=2821.再把 
2821 分为2 和821 两个数，因为821—2＝819，又13 ｜819，所以13 ｜2821， 
进而13 ｜3546725. 
                本站新 下载 本站 在线五 黄金 暴力 让子  山寨 
今天是 
                 论坛  中心 淘宝  子棋  矿工 摩托 弹飞 股市 
                                 二、例题 
     解：∵45=5×9， 
     ∴根据整除 “性质2”可知 
     ∴y 可取0 或5。 
     ∴满足条件的六位数是519930 或919935。 
例2 李老师为学校一共买了28 支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□ 
元.已知□处 字相同，请问每支钢笔多少元？ 
     解：∵9□.2□元=9□2□分 
     28＝4×7， 
     ∴根据整除 “性质2”可知 
     4 和7 均能整除9□2□。 
     4 ｜2□可知□处能 0 或4 或8。 
     因为7  9020，7  9424，所以□处不能 0 和4； 
     因为7 ｜9828，所叫□处应该 8。 
     又∵9828 分=98.28 元 
     98.28÷28＝3.51 （元） 
     答：每支钢笔3.51 元。 
个条件的整数。 
     ∴根据能被11 整除的数的特征可知： 
     1+2+3+4+5 的和与5a 之差应是11 的倍数， 
     即11 ｜（15—5a）.或11 ｜（5a—15）。 
     但是15—5a=5 （3—a），5a—15=5 （a—3），又 （5，11）=1，因此 
111 （3—a）或11 ｜（a—3）。 
     又∵a 是 位上的 字。 
     ∴a 只能取0～9。 
     所以只有a=3 才能满足11 ｜（3—a）或11 ｜（a—3）， 
     即当a=3 时，11 ｜15—5a。 
     符合题意的整 只有1323334353。 
     互不相同），且它能被11 整除，你能找到一个符合条件的整 吗？ 
     解：∵91=7×13，且（7，13）＝1。 
     根据一个数能被7 或13 整除的特征可知： 
     因为（7，10）=1，（13，10）＝1，所以7                              ，13 
也就是7                ，13             ，因此，用一次性质（特征），就去掉 
了两组  ；反复使用性质996 次，最后转化成：原数能被7 以及13 整 
除，当且仅当  能被7 以及13 整除 
     又∵91 的倍数中小于1000 的只有91×4=364 的百位 字是3，∴ 
=364 
例5 在865 后面补上三个 字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5 
整除，且使这个 值尽可能的小。 
     5 整除，所以它应满足以下三个条件： 
     第一， 字和（8+6＋5+a+b+c）是3 的倍数。 
     第三，末位 字c 是0 或5。 
又∵能被4 整除的数的个位数不可能是5。 
∴c 只能取O.因而b 只能取自O，2，4，6，8 中之一。 
∴a＋b 除以3 余2。 
为满足题意“ 值尽可能小”，只需取a=0，b=2。 
∴要求的六位数是865020。 
分析 ∵26=2×13， 
∴y 可能取0、2、4、5、6、8。 
当y＝0 时， 
＝7×13x+9x+13＋6 
∴根据整除 “性质1”，有13 ｜9x+6， 
经试验可知只有当x＝8 时，13 ｜9x＋6， 
∴当y=0 时，符合题意的六位数是819910。 
所以13 整除9x＋6—2， 
即13 ｜9x+4。 
经试验可知只有当x＝1 时，13 ｜9x+4。 
∴当y＝2 时，符合题意的六位数是119912。 
同理，当y＝4 时，13 ｜9x＋6-4， 
即13 ｜9x+2， 
经试验可知当x＝7 时，13 ｜9x+2。 
∴当y=4 时，符合题意的六位数是719914。 
     同理，当y＝6 时，13 ｜9x＋6—6。 
     即13 ｜9x. 
     ∴当y=6 时，找不到符
小学生5年级数学奥数试题与答案.pdf