小学奥数基础教程(六年级)第1讲 比较分数的大小第2讲 巧求分数第3讲 分数运算的技巧第4讲 循环小数与分数第5讲 工程问题(一)第6讲 工程问题(二)第7讲 巧用单位“1”第8讲 比和比例第9讲 百分数第10讲 商业中的数学第11讲 圆与扇形第12讲 圆柱与圆锥第13讲 立体图形(一)第14讲 立体图形(二)第15讲 棋盘的覆盖第16讲 找规律第17讲 操作问题第18讲 取整计算第19讲 近似值与估算第20讲 数值代入法
第21讲 枚举法第22讲 列表法
第23讲 图解法
第24讲 时钟问题
第25讲 时间问题
第26讲 牛吃草问题
第27讲 运筹学初步（一）
第28讲 运筹学初步（二）
第29讲 运筹学初步（三）
第30讲 趣题巧解
第一讲  比较分数的大小
　　同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：
分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；
分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
　　第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
　　由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
　　如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
　　2.化为小数。
　　这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
　　3.先约分，后比较。
　　有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
　　4.根据倒数比较大小。
　　5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，
　　6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况：
　（1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。
　　（2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。
　　前一个差比较小，所以m＜n。
　　（3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。
注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。
　　（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。
　　利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。
　　比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。
练习1
　1.比较下列各组分数的大小：　
答案与提示
第二讲  巧求分数
　　我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。数。
　　分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减1就变成分子加、减1，这样就可以用例1求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。
个分数。
分析与解：因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法求解。
，这个分数是多少？
　　分析与解：如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：
这个分数是多少？
于是与例3类似，可以求出
在例1～例4中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化，那么会怎样呢？
数a。
分析与解：分子减去a，分母加上a，（约分前）分子与分母之和不变，等于29+43=72。约分后的分子与分母之和变为3+5=8，所以分子、分母约掉45-43=2。　　　　 求这个自然数。
同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是45，新分数约分后变
　　例7 一个分数的分子与分母之和是23，分母增加19后得到一个新分数，
分子与分母的和是1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除以42÷6=7得到
分析与解：分子加10，等于分子增加了10÷5=2（倍），为保持分数的大小不变，分母也应增加相同的倍数，所以分母应加8×2=16。　
　　在例8中，分母应加的数是
　　在例9中，分子应加的数是
　　由此，我们得到解答例8、例9这类分数问题的公式：
　　分子应加（减）的数=分母所加（减）的数×原分数；
　　分母应加（减）的数=分子所加（减）的数÷原分数。
分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解答。
　　（2x+2）×3=（x+5）×4，
　　6x+6=4x+20，
　　2x=14，
　　x=7。
练习2
是多少？ 
答案与提示
　　5.5。解：(53+79)÷(4+7)=12， a=53-4×12=5。
　　6.13。解：（67-22）÷（16-7）=5，7×5-22=13。
第三讲   分数运算的技巧
　　对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。
　　1.凑整法
　　与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。
　　2.约分法
　　3.裂项法
　　若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算。
　　例7 在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1。
　　分析与解：这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1，而分母不同的
就非常简单了。
括号。此题要求的是10个数的倒数和为1，于是做成：　　　　
　　所求的10个数是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。
的10和30，仍是符合题意的解。
　　4.代数法　
　　5.分组法　　
　　原式中分母为2～20的分数之和依次为
练习3
　8.在自然数1～60中找出8个不同的数，使这8个数的倒数之和等于1。
答案与提示　
　1.3。        
　　8.2，6， 8， 12， 20， 30， 42， 56。
　　9.5680。
　　解：从前向后，分子与分母之和等于2的有1个，等于3的有2个，等于4的有3个人……一般地，分子与分母之和等于n的有(n-1)个。分子与分母之和小于9+99=108的有1+2+3+…+106=5671（个）
5671+9=5680（个）。
第四讲   循环小数与分数
　　任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。
　　（1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，化
　　因为40=23×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。
　　（2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。
（3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与
　5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。
　　于是我们得到结论：
　　一个最简分数化为小数有三种情况：
　　（1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；
　　（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；
　　（3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
　　例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？
　　分析与解：上述分数都是最简分数，并且
　　32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13，
　　117=33×13，850=2×52×17，
　　根据上面的结论，得到：
不循环部分有两位。
将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混
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