第一章  事件及其概率
§1  随机现象与统计规律性
一、随机现象
在自然界和人类社会中存在着两类现象．
第一类，在一定条件下某种现象必定发生或必定不会发生，这类现象称为确定性现象． 例如:自由落体在经过t秒钟后，落下的距离s必定是；在标准大气压下，水到60沸腾．第一种是必然会发生的，称为必然事件，记作Ω． 第二种是必然不会发生的，称为不可能事件，记作φ．
另一类，在一定条件下，某种现象可能发生也可能不发生，称这类现象为随机现象． 例如：杭州明年正月初一下雪；播种1000颗种子，有850颗发芽；发射一枚炮弹，弹着点与目标之间的距离为15米．
对随机现象，在基本相同的条件下，重复进行试验或观察，可能出现各种不同的结果；试验共有哪些结果事前是知道的，但每次试验出现哪一种结果却是无法预见的，这种试验称为随机试验（random experiment)． 每次试验不能预测其结果，这反映随机试验结果的出现具有偶然性；但如果进行大量重复试验，所出现结果又具有某种规律性——统计规律性． 例如各次发射炮弹，弹着点与目标之间的距离可能各不相同，但如果射手技术较好，多次发射中距离近的必定是多数． 概率论就是研究大量随机现象的统计规律性的数学分支． 由于随机现象的广泛性，决定了这门学科的重要性． 即使在一定条件下某类现象可以视为确定性的，但在作更为深入的考察时，又应看作是随机的了． 例如对上面提到的自由落体运动，当我们考虑空气阻力、空气流动等因素时，物体下落的距离就不一定恰好是了．
随机试验的某一可能结果称为随机事件(random event)，简称事件． 一次试验中，某事件A可能发生，也可能不发生，发生的可能性有大有小． 这一可能性大小的数量指标就是我们所要研究的事件的概率．
二、概率的统计定义
在相同条件下重复作N次试验，各次试验互不影响． 考察事件A出现的次数(频数) n，称
为A在N次试验中出现的频率(frequency)． 频率一般与试验次数N有关；并且在N固定时, 作若干组N次试验，各组频率一般也不相同． 但当N很大时，频率却呈现某种稳定性，即在某常数附近摆动；且当N无限增大时，一般说来，频率会“趋向”这个常数． 这种规律称为随机现象的统计规律． 很自然，把频率所稳定到的那个常数表示事件A在一次试验中发生的可能性的大小，称作概率(probability), 记为P(A)． 概率的这种定义称为统计定义．
 实验者	 掷硬币次数	 出现正面      次数	 频  率		 蒲  丰
 皮尔逊
 皮尔逊	4040
12000
24000	2048
6019
12012	 0．5069
 0．5016
 0．5005		例1  掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面． 记A={出现正面}，当硬币均匀时，在大量试验中出现正面的频率应接近50%． 历史上有不少数学家作过试验，结果如右表． 
自然地，我们认为对均匀硬币来说，P(A)=1/2．
例2  英文字母使用频率的研究，对于信息的编码、密码的破译等是十分有用的． 大量统计表明，字母E的使用频率最高，约为0．105；其次为字母T、O；字母J、Q与Z的使用频率最低，仅为0．001． 据此可以认为，在英语中，字母E出现的概率最高，约为0．105．
日常生活与生产实践中，诸如一批种子的“发芽率”，某人射击的“命中率”，某产品的“次品率”等等，都是用频率来近似概率的例子．
这里我们并没有给出“频率稳定性”的确切含义． 在第四章里，通过对概率论中著名的“大数定律”的讨论我们将会对上述含义有较深入的理解．
虽然我们并不能由概率的统计定义确切地定出一个事件的概率，但是它提供了一种估计概率的方法． 频率与概率的关系就像物体长度的测量值与该长度之间的关系：物体的长度是客观存在的，是该物体的固有属性，测量值是它的某种程度的近似值． 同样，随机事件发生的可能性的大小——概率是随机事件的客观属性，多次随机试验所得的频率则是它的某种程度的近似．
必须注意，应用概率的统计定义时，各次试验是在基本相同的条件下独立进行的，而且次数要足够的多．
从频率的统计定义立即可以看出，频率具有下述三个性质：
1． 非负性：;
2． 规范性：对必然事件Ω，=1;
3． 可加性：若A与B是两个不会同时发生的事件，以A+B表示A或
B至少出现其一这个事件，则=+．
   性质3可以推广到任意有限个事件．
§2  古典概型
一、样本空间和样本点
投掷一颗骰子，虽无法预卜其结果如何，但总不外乎是“出现1点”，…,“出现6点”这6个基本的可能结果之一． 不妨把这些试验结果的全体记为{1,2,…,6}．
随机试验的每一基本结果称为样本点(sample point)，常记作ω． 样本点的全体称为样本空间(sample space)，常记作Ω． 上述例子中，若记=“出现i点”，那么．
样本点和样本空间是概率论中的两个基本概念． 随着对所讨论问题的兴趣不同，同一随机试验可以有不同的样本空间． 讨论问题前必须先取定样本空间．
例1  口袋中装有10个球：三个红球三个白球和四个黑球． 任取一球． 样本空间可以取为={取得一个红球，取得一个白球，取得一个黑球}． 但若把球编号，红球编为1—3号，白球和黑球分别为4—6和7—10号；则每取一球，必定是且只能是这些球号中的一个，故也可取样本空间为，其中=取得第i号球， i=1,2,…,10．
例2  在例1中，如果每次共取两个球， 则每个样本点可以用所取得的两个球号(i, j) 来表示，样本空间可以是
Ω={(1,2), (1,3), …,(1,10), (2,3), …,(2,10), …,(9,10)},
共有=45个样本点; 这是二维的样本空间．
例1和例2都是有限样本空间．
例3  考察单位时间内落在地球上某一区域的宇宙射线数，这可能是0, 也可能是1, 是2, …，很难确定一个上界． 于是可以取样本空间为Ω={0, 1, 2,…}, 它包含无限多个样本点，但可按一定的顺序排列起来（称为无限可列个）．
例4  考察发射一枚炮弹时，落地点与目标之间的距离． 这可能是0到某常数之间的任一实数，可取样本空间为Ω= [0, a], 它是一维连续区间．
　　在实际问题中，如何取一个合适的样本空间是一个值得研究的问题． 样本空间取得好，解题就方便得多． 在一般问题中，则往往认为样本空间已经给定，在此基础上展开讨论．
二、古典概型
(一) 模型及定义
古典概型是最简单的随机试验模型，也是很多概率计算的基础，而且有不少实际应用．
古典概型有两个特征：
1． 样本空间是有限的, ，其中, i=1, 2, …,n, 是基本事件．
2． 各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同．
很多实际问题符合或近似符合这两个条件，可以作为古典概型来看待． 在“等可能性”概念的基础上，很自然地引进如下的古典概率(classical probability)定义．
定义1  设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P(A)定义为
            P(A)=				(1)
根据这个定义，对上段的例1，如果从袋中取出一球是随机的，那么,“得红球”这一事件发生的概
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