五、实用计算方法能量法求基本频率迭代法求频率、振型结论与讨论?
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     由前两章的分析可以看到，频率、振型是动力系统的重要动力特性，特别是对线性系统用振型分解法作多自由度分析时，必须事先求出频率、振型。    作为数学的特征值问题，可以有很多方法求全部特征值和部分特征值。对于本科初学者，由于一般结构分析只需要很少的前几个振型即可获得足够的精度，因此，本章仅介绍两种求频率振型的实用方法。    由于工程结构和各种构筑物的的阻尼比很小，从单自由度?d=?(1-?2)1/2 可见?d??。因此频率振型分析都对无阻尼自由振动问题来进行。5.1 能量法求基本频率www.book118.com 单自由度求频率    单自由度无阻尼自由振动解答为Asin(?t+?)，    当?t+?=n?时位移等于零，因此势能为零，速度为?A，动能为m(?A)2/2。    当?t+?=(n+1)?/2时，速度为零、动能等于零，位移为A，势能为kA2/2。    由无阻尼、能量守恒可得Tmax=m(?A)2/2=kA2/2=EP,max设?=1时最大动能为Tmax，由此即可得?=(EP,max/Tmax)1/2                                        (1)
5.1 能量法求基本频率www.book118.com 多自由度求基本频率    由振型正交性进行振型分解可知，第i振型的频率可由对应的广义刚度和广义质量按单自由度求的。但真要如此来求，必须事先求得振型。这显然是不可能的。    但是，根据化无限自由度为有限自由度的广义坐标法思想，如果能够假设出满足位移约束条件的位移形式{A}i作为第i振型近似解。则令Mi*={A}iT[M]{A}i                            (2)Ki*={A}iT[K]{A}i                            (3)可得第i振型的频率  ?i2=Ki*/Mi*                                 (4)此结果的近似程度完全取决于假设的振型，因此一般只用它求基频的上界。如取自重沿运动方向作用的变形曲线作假设振型，一般能得到很高精度的基频。5.1 能量法求基本频率www.book118.com 多自由度求基本频率的步骤1）确定系统的质量、刚度矩阵。2）沿运动方向作用自重，按静力问题求运动方向的位移。3）由上述位移结果按自由度顺序排成列阵，并进行规格化（最大元素为1）得{A}1近似解。4）用下列公式求广义质量、广义刚度M1*={A}1T[M]{A}1                           (2)K1*={A}1T[K]{A}1                            (3)5）求第一振型的频率  ?12=K1*/M1*                          (4)     如果系统是无限自由度的，应如何求它的基频近似值？请大家考虑。5.2 迭代法求频率、振型     下面介绍一种通过迭代求前几阶频率振型的方法。www.book118.com 迭代法求基本频率、第一振型
4动力学5.ppt