2.6  矩阵元素运算 max.book118.com  三角函数 max.book118.com  指数和对数函数 max.book118.com  复数函数 max.book118.com  截断和求余函数 max.book118.com  特殊函数   max.book118.com  三角函数 MATLAB提供一些三角函数 max.book118.com  指数和对数函数 max.book118.com  复数函数 max.book118.com  截断和求余函数 max.book118.com  特殊函数         本小节介绍一些用途比较特殊的数学函数，包括应用于工程上的函数、数论函数和坐标变换函数。  1．工程函数 2．数论函数 3．坐标变换函数 1．工程函数 2．数论函数 3．坐标变换函数 第二讲 作业 1．计算矩阵A的范数、行列式、秩、化零空间和正交空间。    2．求解线性方程组AX=B，其中A如第1题所示，     B=[1 1  1  1  1]'。 3．对矩阵A进行LU分解，其中A如第1题。  4. 计算矩阵A的特征根及对应的特征向量，判断矩阵A是否可对角化，其中A如第1题。 5. 计算复数矩阵C每个元素的模、相角和共轭。   6. 分别使用函数fix()、floor()、ceil()和round()，计算第5题中的相角结果。  对于稀疏矩阵，在MATLAB中提供了函数luinc()来做不完全LU分解，其具体用法如下：   [L U]= luinc(X,DROPTOL)，其中X、L和U的含义与函数lu()中的变量相同，DROPTOL为不完全LU分解的丢失容限。当DROPTOL设为0时，退化为完全LU分解。   [L,U] = luinc(X,‘0’)，0级不完全LU分解。   [L,U,P] = luinc(X,'0')，0级不完全LU分解。 3．QR分解        QR分解就是将m×n的矩阵A分解为m×n的矩阵Q和n×n的上三角矩阵R的乘积，且Q’*Q=I，即A=Q*R。     在MATLAB中QR分解是由函数qr()来实现，其具体用法如下：   [Q,R] = qr(A)  满足A=Q*R。   R = qr(A)，   返回上三角矩阵R。   4．奇异值分解 奇异值分解就是将m?n的矩阵A分解为A=U*S*V’，其中U为m?m的酉矩阵，V为n?n的酉矩阵，S为m?n的矩阵，并可如下表示：                  ，其中                             ，                ，    在MATLAB中奇异值分解是由函数svd()来实现，其具体用法如下： 5．Schur分解 Schur分解就是将复方阵A分解为A=U*L*U’，其中U为酉矩阵，L为上（下）三角矩阵，其对角线元素为A的特征值。   在MATLAB中Schur分解是由函数schur()来实现，其具体用法如下：   [U,L] = schur(A)，满足A=U*L*U’，     其中L为上三角矩阵。   L = schur(A)，返回上三角矩阵L。   max.book118.com  矩阵的特征值和特征向量 方阵A的特征值λ和其对应的特征向量ν满足下式： A*ν=λ*ν   在MATLAB中用函数eig()来计算特征值和其对应的特征向量，其具体用法如下：    d = eig(A)，返回矩阵A的所有特征值。   [V,D] = eig(A)，返回矩阵A的特征向量和    特征值。   max.book118.com  矩阵相似变换 1．对角阵变换 2．Jordan变换 矩阵相似变换是指，对于方阵A和非奇异矩阵B可得到相似矩阵X=B-1*A*B。 1．对角阵变换 对于方阵A，若[V D]=eig(A)得到的矩阵V非奇异，则A可经过相似变换得到对角阵，即D=V-1*A*V，也称矩阵A可对角化。   2．Jordan变换 对于方阵A，若[V D]=eig(A)得到的矩阵V奇异，则A经过相似变换将不能得到对角阵，只能得到其对应的Jordan标准型。  在MATLAB中用函数jordan()来实现Jordan变换，其具体用法如下：    [V,D] = jordan(A)，满足  D=V-1*A*V。   D = jordan(A)，返回矩阵A对应的    Jordan标准型。  max.book118.com  非线性运算 1．矩阵指数运算 2．矩阵对数运算 3．矩阵开平方运算 4．通用矩阵运算 MATLAB提供一些矩阵的非线性运算函数 1．矩阵指数运算 2．矩阵对数运算 矩阵对数运算是矩阵指数运算的逆运算，在MATLAB中用函数logm()来计算矩阵对数，其具体用法如下：   L = logm(A)，返回矩阵A的对数。  3．矩阵开平方运算 对于方阵A，可以计算它的开平方得到矩阵X，即满足X*X=A。如果矩阵A是奇异的，它有可能不存在平方根X。  在MATLAB中，有两种计算矩阵A平方根的方法，即A^0.5和sqrtm(A)。函数sqrtm()比A^0.5的运算精度更高，其具体用法如下：   X = sqrtm(A)，返回矩阵A的平方根X。   4．通用矩阵运算 MATLAB提供通用矩阵运算的函数funm()，其具体用法如下：   F = funm(A,fun)，将指定函数fun作用    在方阵A上。  可以使用的指定函数fun如下表所示。  MATLAB提供的一些字符串转换为数值函数 2.5  数学运算 在MATLAB中一切数据均能以矩阵的形式表示：   针对矩阵整体的数学运算，称之为矩阵运算；   针对矩阵元素的数学运算，称之为矩阵元素运算。 矩阵运算是线性代数中极其重要的部分，MATLAB具有强大的矩阵运算能力。 max.book118.com  矩 阵 运 算 max.book118.com  矩阵分析 max.book118.com  线性方程组 max.book118.com  矩阵分解 max.book118.com  矩阵的特征值和特征向量 max.book118.com  矩阵相似变换 max.book118.com  非线性运算  max.book118.com 矩阵分析 1．向量间的距离 2．矩阵的秩 3．矩阵的行列式 4．矩阵的迹 5．矩阵的化零矩阵 6．矩阵的正交空间 7．矩阵的简化梯形形式 8．矩阵空间之间的角度 MATLAB提供的部分矩阵分析函数 1．向量间的距离 2．矩阵的秩 矩阵A中线性无关的列向量个数称为列秩，线性无关的行向量个数称为行秩。可以证明列秩与行秩是相等的。 3．矩阵的行列式 4．矩阵的迹 矩阵的迹定义为矩阵对角元素之和。在MATLAB中用函数trace()来计算矩阵的迹。  5．矩阵的化零矩阵 对于非满秩矩阵A，若存在矩阵Z使得AZ?=?0且ZTZ?=?I，则称矩阵Z为矩阵A的化零矩阵。在MATLAB中用函数null()来计算矩阵的化零矩阵。  6．矩阵的正交空间 矩阵A的正交空间Q满足QTQ?=?I，且矩阵Q与A具有相同的列基底 7．矩阵的简化梯形形式 矩阵A的简化梯形形式为     其中Ir为r阶单位矩阵。   8．矩阵空间之间的角度 矩阵空间之间的角度代表具有相同行数的两个矩阵线性相关程度，夹角越小代表线性相关度越高。 max.boo

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