振动分析与实验基础课程考试试卷3答案
1. 求如图1所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且，。(共计15分)
解：                         等效刚度=
由   =
故系统的周期为                       
2. 重物悬挂在刚度为的弹簧上，并处于静平衡位置，另一重物从高度为h处自由落到上无弹跳，如图2所示，求其后的运动。(共计15分)
解：根据题意，取M=+所处的平衡位置为原点，向下为正，得系统运动的微分方程为：
解得                
                      =
3. 如图3所示系统两个圆盘的半径为，设求系统的固有频率和振型。(共计15分)
解：取为系统的广义坐标， 
系统的动能为       
系统的势能为       
从而可得
，
系统的特征方程为：
得
其振型分别为：
4. 试从   证明：1).无论阻尼比ξ取何值，在频率比=时，恒有
2).在＜，X/A随ξ增大而减小，而在＞ ，随ξ增大而增大。
(共计15分)
证明：1).  因   
故当=时，           
所以，，故无论阻尼比ξ取何值恒有
2).   因
故当＜时，＜0，从而随ξ增大而减小
而当＞时，＞0，故 随ξ增大而增大。
5. 一个高，宽的矩形脉冲力加到单自由度无阻尼系统上，把这个矩形脉冲力看做两个阶跃脉冲力之和，如图T-2.43所示，用叠加原理求t 后的响应。(共计15分)
解：设                       
则由叠加原理可得，时，
x(t) =
6. 如图5所示，由弹簧耦合的双摆，杆长为，
1).写出系统的刚度矩阵，质量矩阵和频率方程
2).求出固有频率和振型
3).讨论k值改变对固有频率的影响。(共计15分)
解：1).建立二个独立坐标
系统的动能为：        
系统的势能为：       
由可得
，
因很小，故可得
，
其频率方程为：
2).             
相应振型分别为：
.   当k变化时，没有变化，产生变化。
当k变小时，将变小，且与接近。
当k变大时，将变大，且与间距变大。
7. 证明相关系数的绝对值小于或等于1.，即。(共计10分)
证明：因                   
考虑到                     
而   
=
从而                     即   

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