理论力学多媒体课件 主讲：蒋士亮 教授  单位：广西民族大学              物理与电子工程学院                   是质心的速度。上式描述了质心的运动（平移）规律，称为质心运动定理，它表明：质心的运动如同一个质量等于质点系的质量，所受的力等于作用在整个质点系上的合力的质点的运动一样。 式中 　　质心运动定理只描述质点系质心的平移，不涉及质点系相对于质心的  空间取向，而且质心运动状态的变化取决于质点系所受的外力，而与内力  无关，内力可以改变质点系内质点的运动状态，不能改变质心的运动状  态。质点系可以是离散的质点组或可变形的柔体（如京剧演员、跳水运动  员）或不发生形变的刚体，也可以是运动过程将发生爆炸的炮弹，在这些  体系中质心运动定理都成立。如跳水运动员在空中卷缩、抱膝、翻滚、伸  展多姿多态，而其质心的运动遵循抛体运动规律，轨迹为抛物线。          max.book118.com  角动量定理      （1）角动量         质点的位矢  和它的动量 的矢量积  P r O 图1.11          （1.37） 称为质点对坐标原点O的角动量（或动量矩），是描述物体运动特性的重要物理量之一。       质点系的角动量定义为                       （1.38）      （2）质点系对惯性系中固定的角动量定理       式（1.38）两边对t求导：     上式中内力矩和    于是      （1.39）  上式表示：质点角动量的变化率等于作用在质点在质点系上所有外力矩的和，与  体系内部的相互作用无关——质点系对惯性系中固定点的角动量定理。      （2）角动量守恒定律        如果质点系所受到的外力矩为零，则体系角动量守恒                        （1.40） 若在某一固定方向的外力矩为零，则角动量在该方向的分量守恒。         宇宙中存在着各种层次的天体系统，它们都具有旋转的盘状结构。例如银河系，最初是一团极大的弥漫气体云，具有一定的初角动量。    在自身引力作用下收缩，聚集而成现在的形态。由于角动量守恒，银河系演变成了朝一个方向旋转的盘状结构（图1.12）        (3)质心系中的角动量定理         质心系——随质点系质心平动的参考系（当质心加速度 时，质心系不是惯性系而为非惯性系）。 zˊ X Y Z xˊ yˊ O c 图1.13 表示质心系中相应的量，则         如图1.13所示，o - xyz为固定坐标系（惯性系）， 为原点取在质心C 上随质点系相对于o–xyz平动的质心系,     即 （1.41） 上式表明：质点系对质心的角动量变化率等于作用在质点系上的外力对质心的力矩  的和。——对质心的角动量定理，与惯性系中的角动量形式相同。         max.book118.com  能量定理       （1）质点系动能定理         质点系的动能 （1.42） 对上式两边微分得     即 （1.43） 上式表示：质点系动能的增加等于外力和内力所做的元功之和——质点系动 能定理。       （2）寇尼希（K?nig）定理        如图1.10所示，质点系动能      因质心系的原点在质心C上，故式中 ，所以 （1.44） （1.45） 式中 为质点系相对于质心的动能。（1.44）式表示：质点系的总动能等于质点系全部质  量集中在质心并以质心速度运动的动能，加在各质点相对于质心系的动能——寇尼  希定理。        （3）质心系的动能定理         质点系动能的微分为   根据寇尼希定理: (1.46)        (4) 机械能守恒定律  上式为质心系中的动能定理,与惯性系中的动能定理的形式一样. 因此得           如果力 是坐标的单值、有限、可微的函数，且     （1.47） 则存在某一单值标量函数V（x，y，z），且          （1.49） （1.48） 则力所做的功为         可见力 所做的功只与质点的始末位置有关，而与路径无关。满足（1.47）式 或（1.48）式的力称为保守力。       由质点的动能定理： 对上式积分得  T+V=E=常数  （1.50） 式中单值标量函数V称为物体的势能，T+V为物体的机械能，上式表明：  如果作用在质点上的力 不做功或 ——机械能守恒定律。 为保守力，则质点的机械能守恒         1.4  牛顿力学理论的应用例题          [例1] 长距离自由落体。 　　　试求彗星在万有引力作用下从距太阳a处到b处所用的时间，其中a﹥b ? R，  R为太阳半径         解：取图示的直角坐标，其运动微分方程为                              积分                 得                    令  代入上式： O  Z m f  太阳中心  图1.14       [例2]  两个小环套在一悬挂着的大环上沿大环滑动         解：大环和小环各受哪些力作用？        如图1.15，大环在竖直方向所受的合力为                F=T-2Ncosθ-mˊg                             (1) （2） （3） 小环沿大环运动的微分方程为 由（3）式，有   积分上式得 （4）  （4）式代入（2）式可得          （5）  （5）式代入（1）式： （6）  当合力F≥0时大环上升，这时T=0，于是（6）式化为                       上式成立的条件为   ，因此：   大环可上升的条件为        ② 大环开始上升时小环所处的位置为        [例3]质点沿摆线 运动 　　解:半径为R的圆周沿x轴纯滚动时,圆周上一点P(x,y)的轨迹即为摆线.本题给  出摆线方程,求质点运动的加速度的大小.       摆线方程通常表成直角max.book118.com:  O R C Y D R C E P M 图1.16 X    (1)  上式为M点的运动学方程(直角坐标形式),称为摆线(式旋轮线)参数方程. 积分得  (2)  设x轴正向与轨道切线正向之间的夹角为 ,由图1.16知: 则(2)式为    将弧坐标原点移至4R处,上式为   (3)  (3)式为以弧长为变量的摆线方程(轨迹方程)                                                                                   可见:切向加速度和法向加速度随质点的位置改变变化,但总的加速度的大小是常量 ．          [例4] 变质量方块串的运动。 x  y  F  O  图1.17  方块串的总长为L，单位质量为ρ，开 始时排列放在桌面上，右端正好排列到桌缘， 小方块与桌面的动摩擦因数为μ，用恒力F沿水平方向从左端推动该列小方块。求当左端刚好达到桌缘时，这列小方块的速度。 　　解：以桌面上（水平方向）和竖直方向两部分方块串为研究对象，它们的质量在运动过程中不断变化，是变质量运动问题，其运动方程分别为

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