初二数学竞赛试卷
(考试时间：2003年12月28日9:30一一11:30)
一、选择题（每小题6分，共30分）
1．如图，三个图形的周长相等，则（    ）
（A）c a b    （B）a b c    （C）a c b    （D）c b a 
2．已知a b，那么的值等于（    ）
（A） （B）
（C） （D）
3．若关于x的方程||x-2|-1|=a有三个整数解，则a的值是（   ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
4．AD与BE是△ABC的角平分线，D，E分别在BC，AC上，若AD=AB，BE=BC，则∠C=（  ）
69° （B） （C） （D）不能确定
5．已知正数a,b满足a3b+ab3-2a2b+2ab2=7ab-8，a2-b2=（     ）
（A）1 （B）3 （C）5 （D）不能确定
二、填空题（每小题6分，共30分）
6．如图，三角形数表第82行的第3个数是_____________.
7.如图,16×9的矩形分成四块后可拼成一个正方形,该正方形的周长为_________.
8.已知是正整数,且,
则______________________________.
9.今天是星期日,若明天是第一天,则第20033-20023+20013-20003+…-23+13天是星期__________________.
10.在2×2的正方形表中填入4个不同的非零平方数,使每一行、每一列的和都是平方数。（注：平方数是指一个整数的平方）
三、解答题（每小题20分，共60分）
11．数学集训队教练要将一份资料复印给23名队员，校内复印店规定300页以内每页1角5分，超过部分每页1角，这23份资料一起复印的费用正好是单份复印时的20倍，问这份复印资料共有几页？
12．在△ABC中,∠ACB=90°，是AB上一点，M是CD的中点，若，求证：。
 13．平面上给定3个点，证明：可以作出4个同心圆，使（Ⅰ）这4个圆的半径都是其中最小圆半径的整数倍；（Ⅱ）这4个圆所成的3个圆环中，每个含有一个已知点。
初二数学竞赛参考答案及评分标准
选择题（每小题6分，共30分）
1．A   2. D   3. B    4. C   5. B
二、填空题（每小题6分，共30分）
6.  6564   7. 48  8. (1,1,2,3,3)或(1,1,1,1,2,4)  （对一个给3分） 
9. 一 10. 
152	202		362	482		（注意：答案不唯一）    
解答题（每小题20分，共60分）
11． 解 ：设这份资料共A页，单份复印费为P1，23份复印费为P2，则P2=2OP1。
Ⅰ）A＞300
P1=300×15+（A－300）×10
=10A+1500
P2=300×15+（23A－300）×10
=230A+1500
=20P1=20（10A+1500） 
∴30A=19×1500, ∴A=19×50=950
Ⅱ）A≤300，23A＞300
P1=15A
P2=300×15+（23A－300）×10
=230A+1500
=20P1=20×15A
∴70A=1500，无解。
Ⅲ）23A≤300，P2=15×23A=23 P1＞20 P1，无解。
∴A=950
12．证明过A作CD的平行线，交BC的延长线于P, 连AP，交BM的延长线于N,则
∵CM=MD，∴PN=NA，
∵∠PCA=900，∴CN=PN=NA。
∴∠ACM=∠CAN=∠NCA，
∴∠NCM=2∠ACM                            （1）
∵∠MAN=∠AMD=∠BMD=∠MNA
∴MA=MN
∵MD=MC，MA=MN，
∠AMD =∠BMD=∠NMC，
∴ΔMAD≌ΔMNC
∴∠MDA =∠MCN                            （2）
由（1）与（2）得∠CDA=2∠ACD
13.解：连接两个已知点的线段有3条，作它们的垂直平分线，在这些垂直平分线及已知外，任取一点O为圆心。
设O到这3个已知的距离为d1,d2,d3,则它们两两不等且都大于0。
不妨假设0＜d1＜d2＜d3，则存在有理数r1 ，r2，r3 ，使得d1＜r1＜d2＜ r 2＜d3 ＜r3，将它们通分得r1=P1/M，r2= P2/M，r3= P3/M，这里M是它们分母的公倍数。
我们可以区M足够大，使1/M＜d1，令r0=1/M，则以r0， r1， r2，r3为半径的同心圆满足所有的要求.

2011年宁波市至诚杯初二数学竞赛试卷第2试及参考答案(华师大版).doc