【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算 
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11..特殊数题 
     (1)21－12 
         当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减 
数与减数十位数字的差乘以9。 
         因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即(2－1)×9。 
减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝(3－1)×9＝18。减数 
从12—89，都可类推。 
         被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应 
地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如 
         210－120＝(2－1)×90＝90， 
         0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。 
     (2)31×51 
         个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位 
是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。 
         若十位数字的和满10，进1。如 
         证明：(10a＋1)(10b＋1) 
         ＝100ab＋10a＋10b＋1 
         ＝100ab＋10(a＋b)＋1 
         (3)26×86 42×62 
         个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位 
数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面 
补0。 
     证明：(10a＋c)(10b＋c) 
         ＝100ab＋10c(a＋b)＋cc 
         ＝100(ab＋c)＋cc (a＋b＝10)。 
     (4)17×19 
         十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位 
数的积。 
         原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323 
     证明：(10＋a)(10＋b) 
         ＝100＋10a＋10b＋ab 
         ＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。 
     (5)63×69 
         十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的 
个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。 
         原式＝(63＋9)×6×10＋3×9 
         ＝72×60＋27＝4347。 
     证明：(10a＋c)(10a＋d) 
         ＝100aa＋10ac＋10ad＋cd 
         ＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。 
     (6)83×87 
         十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数 
字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如 
     证明：(10a＋c)(10a＋d) 
         =100aa＋10a(c＋d)＋cd 
         ＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。 
     (7)38×22 
         十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字 
相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。 
         原式＝(30＋8)×(30－8) 
         ＝30－8＝836。2 2 
         (8)88×37 
         被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与 
1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。 
     (9)36×15 
         乘数是15的两位数相乘。 
         被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为 
被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。 
         ＝54×10＝540。 
         55×15 
     (10)125×101 
         三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。 
125＋1＝126。 
         原式＝12625。 
         再如348×101，因为348＋3＝351， 
         原式＝35148。 
     (11)84×49 
         一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。 
         原式＝8400÷2－84 
         ＝4200－84＝4116。 
     (12)85×99 
         两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数 
一样多的0、再减去被乘数。 
         原式＝8500－85＝8415 
         不难看出这类题的积： 
         最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差； 
         最低位上的两位数，是100与被乘数的差； 
         中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。 
     证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则 
         如果被乘数的个位数是1，例如 
         31×999 
         在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。 
         71×9999＝709999－70＝709929。 
         这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a＋1)的形式， 
由9组成的自然数可表示为(10－1)的形式，其积为n 
                     n         n＋1      n 
         (10a＋1)(10－1)＝10 a＋(10－1)－10a。 
     (13)1÷19 
         这是一道颇为繁复的计算题。 
         原式＝0.052631578947368421。 
         根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩 
大)相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。 
         原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序： 
         (1)先用0.1÷2＝0.05。 
         (2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除 
         如此除到循环为止。 
         仔细分析这个算式： 
         加号max.book118.com÷2的商，后面的0.05×0.1÷max.book118.com×0.1 
＝0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除 
数看作2继续除，依此类推。 
         除数末位是9，都可用此法计算。 
         例如1÷29，用0.1÷3计算。 
         1÷399，用0.1÷40计算。 
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22..估算 
         数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工 
作、学习、科研效率。已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课 
题。 
         美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的基本数学能力中， 
第6种能力即估算：“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计 
算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。检验预测或作出决 
定……” 
     (1)最高位估算 
         只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什 
么范围。 
         例1 1137＋5044－3169 
         最高位之和1＋5－3＝3，结果在3000左右。 
         如果因为忽视小数点而算成560，依据“一个不等于零的数乘以真分 
数，积必小于被乘数”估算，错误立即暴露。 
         例3 51.9×1.51 
         整体思考。 
         因为 51.9≈50， 
         而50×1.51≈50×1.5＝75， 
         又51.9＞50，1.51＞1.5， 
         所以51.9×1.51＞75。 
         另外9×1＝9， 
         所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。 
         例4 3279÷79 
         把3279和79，看作3200和80。准确商接近40，若相差较大，则是错 
的。 
     (2)最低位估算 
         例如，6403＋232＋1578 
         3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。 
     (3)规律估算 
         和大于每一个加数； 
         两个真分数(或纯小数)的和小于2； 
         一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个 
带分数
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