神奇的1和0
本系列贡献者：与你的缘  
［知识要点］
1．我们用字母α表示除0以外的任何数，则有
  ⑴ α×1=1×α=α；   α÷1=α。
⑵ α＋0=0＋α=α；   α－0=α；   α×0=0×α=0；    0÷α=0。
⑶ α÷0无意义。
2．掌握含0的数的读法，规定末尾的0不读；中间有一个0或几个0连在一起都只读一个0。
［范例解析］
例1  计算下面由数字1组成的“金字塔”，把所有的1都加起来，看谁算得快。
解  “金字塔”每层的和分别是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
 它们的总和是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
例2  请回答：数字3最少是几个数字相乘的积？最多呢？
解  由于3×1=3，所以3最少是两个数字的积，最多可看成是一个数3和无穷多个数1的积。
例3  我们做一个数字计算游戏。任取一个不是1的数，如果是双数就除以2（如取18，就18÷2）；如果是单数就乘以3加上1后再除以2[如取7，就（7×3＋1）÷2]。现在我们取数3，反复用这两种方法计算，最后的结果怎样？任取数7呢？
解  将数3按这两种方法计算有：
 3×3＋1=10   10÷2=5   5×3＋1=16   16÷2=8   8÷2=4   4÷2=2   2÷2=1
 简记为：3→10→5→16→8→4→2→1
同样，对于数7有：
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1
数3和数7经过用规定的两种方法反复计算，最后的结果都是1。这种计算方法称“角谷猜想”。
例4  2÷0得几？说明理由。
解  假定2÷0=α，根据除法的意义，应有α×0=2。但α×0=0，所以α×0不能等于2。这说明，找不到一个数与0的积等于2，故2÷0无意义。
例5  把两个“9”和两个“0”拿来组成四位数，那么：
⑴ 两个0都不读出来的数是什么数？
⑵ 只读出一个0的数是什么数？
⑶ 四位数中最大的一个数是什么数？
⑷ 四位数中最小的一个数是什么数？
解  ⑴ 9900    ⑵ 9090    ⑶ 9009    ⑷ 9900
例6  计算：⑴ 1300×3    ⑵ 1600×5    ⑶ 470×3    ⑷ 5008×5
解  
［思路技巧］
任何一个数中间或末尾的0，都占一个数位。因此，用乘数去乘被乘数时，不管乘数中间有几个0，都要一个一个地同乘数相乘；遇到被乘数末尾有0的时候，可以先用乘数去乘0前面的数，然后在乘得的数的末尾填写0，填写0的个数要与被乘数末尾的0的个数相同。
总之，0和1有许多奇妙的性质，用途很广，例如，电子计算机所采用的二进制数，就只用1和0来表示。随着数学知识的增长，你会越来越感到它们重要。
［习题精选］
1．填空。
  1×（  ）=1     1＋（  ）=1    1－（  ）=1
  2－（  ）=1     1÷（  ）=1    7÷（  ）=1
2．计算。
  ⑴ 617×0×4      ⑵ 5783×9×0      ⑶ 80×3×1
⑷ 2030×3×4     ⑸ 3020×2×3      ⑹ 7010×1×2
3．用“角谷猜想”计算方法填数。
⑴ 6→□→□→□→□→□→□→□→　
⑵ 18→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→1
4．在6的后面添上一个0，这个数是原来的几倍？比原来的数多多少？
5．1400末尾的两个0可以不读，也可以不写，对吗？为什么？
6．1005中间的两个零只读一个，也可以只写一个，对吗？为什么？
7．0、2、4、6、8五个数字的和与2、4、6、8、0五个数字的积相比，不用计算，你说是和大？还是积大？
8．比比看，谁做得又对又快？
  1＋0    0＋1    1×1    1×0    1－1    0＋0    1÷1    0×0    1－0    0÷1
1＋1    6×1    6÷1    7＋0    0＋7    7－0    0÷7    7－7    7×7
（6－6）×4    （8－8）×0    0÷（8－4）
1×1＋1÷1＋0×1＋0÷1
9．用四个3、三个0写成七位数，按下面的要求写出各多位数：
一个零都不读出来  （             ）        只读出一个零      （             ）
读出两个零        （             ）        读出三个零        （             ）
10．数字迷。
  下面每个题里都有一组数，请你从中找出一个适合各问条件的数：
⑴ 7  6  25  53  19
这个数被3除余1；
这个数比最小的两位数大；
这个数加上1，再乘以5正好是最小的三位数；
这个数的几？
⑵ 30500  53010   400200  7003000
这个数只读出一个零；
这个数的最高位在二节中；
这个数各个数位上的数的和为8；
这个数是几？
11．用1、0、0、4四个数字写出两个四位数，要使它们是差是99，这两个四位数分别是（       ）和（       ）。
余数的妙用
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［知识要点］
    1．被除数=除数×商＋余数；
2．余数要比除数小；
3．会解有余数除法的应用题。
［范例解析］
例1  如图1-1。把14个乒乓球平均分给三个班，每班分得几个？还余下几个？
解  14÷3 = 4余2
每班分得4个还余2个。
例2  下面三个竖式，哪个对？哪个不对？为什么不对？
解  第一个竖式不对，它的余数8比除数5还大，还可商1，即商应为8；
    第二个竖式也不对，因商和除数的积不能大于被除数；
    第三个竖式是对的，余数3小于除数5。
说明  计算有余数的除法，余数一定要比除数小。这时被除数、除数、商和余数的关系是：
被除数 = 除数×商＋余数
被除数－余数 = 除数×商
例3  把11、12、13、14、15、16、17分别除以3时，各得哪些余数？
解  11÷3 = 3余2；  12÷3 = 4余0；  13÷3 = 4余1；  14÷3 = 4余2；
15÷3 = 5余0；  16÷3 = 5余1；  17÷3 = 5余2。
说明  一串连续数除以同一个数，因为它们的余数小于除数，所以余数重复出现。
    “余数”在我们生活中还有不少的用处呢！
例4  国庆节挂彩灯，用六种颜色的灯泡，按红、黄、蓝、白、绿、紫的次序装配，总共要装50只灯，每种颜色的灯泡各需要多少只？
解  可以这样想，六种颜色的灯泡作为一组，50只灯泡可以分成
        50÷6 = 8（组）余2（只）
    于是，其中有四种颜色的灯泡各配8只，另两种颜色的灯泡各配9只。
例5  今天是星期三，再过20天是星期几？
解  今天是星期三，因为一个星期有7天，以星期一为星期的第一天计算，因已经过了3天。所以有
        （20＋3）÷7 = 3余2
    即再过20天是星期二。
例6  把4、7、18、2四个数填入下式的括号中。
（    ）÷（    ） = （    ）余（    ）
分析  第一个括号是被除数，它必须填最大的一个数18。其次，除数比余数要大，因此，第二个括号中的数必须比最后一个括号中的数要大，但是7×4大于18，所以最后一个括号中只能填数4。即题中式子填数如下：
（ 18 ）÷（ 7 ） = （ 2 ）余（ 4 ）
［思路技巧］
１．正确理解余数的性质，是正确解决有关余数问题的关键。
２．计算有余数的除法，余数一定要比除数小。
［习题精选］
看图填数。
⑴  11÷3 = ______( 根 )……______（ 根 ）
⑵  14÷4 = ______( 份 )……______（ 个 ）
    14÷3 = ______( 个 )……______（ 个 ）
下面各题的计算对吗？把不对的改过来。
 ⑴ 38÷5 = 6……8    49÷6 = 7……7    49÷8 = 5……9
    33÷4 = 8……1    2÷1 = 1……1     17÷3 = 5……2
３．（    ）里最大能填几？
（    ）×8＜55    （    ）×5＜19    （    ）×7＜33
（    ）×9＜62    （    ）×6＜50    （    ）×4＜14
４．55除以7，商几余几？除以8呢？除以9呢？
５．                
                     被4除没有余数的：________________
                     被9除没有余数的：________________
６．⑴ 用下面各数除以2时，得到哪些余数？除以4时，得到哪些余数？
   11、13、14、15、17、19
⑵ 用下面各数分别除以5、6时，各得到哪些余数？
   11、12、13、14、15、16、17
７．把23、7、3、2填入两个式子中，使它们的余数相同。
（    ）÷（    ） = （    ）……（    ）
（    ）÷（    ） = （    ）……（    ）
８．下面三个算式的被除数相同，你能填出来吗？
（    ）÷7 = （    ）……1
（    ）÷6 = （    ）……5
（    ）÷5 = （    ）……4
９．在□里填上适当的数。
１０
小学数学解题思路技巧(一、二年级用).doc