第六章  测量误差基本知识 第一节  测量误差 第二节  评定精度的指标 第三节  误差传播定律 第四节  算术平均值及观测值的中误差 第五节  加权平均值及其精度评定  第六章  测量误差基本知识 重点 误差的分类及特点 中误差 误差传播定理   难点 误差传播定理 中误差 算术平均值的中误差 白塞尔公式   §6－1 测量误差 §6－1 测量误差 真值：任何一个观测量客观上总存在着一个能代表其真正大小的数值，这一数值称为该观测量的真值。用X表示。 观测值：通过观测得到的数值称为该量的观测值，用Li（i=1,2,…,n）表示 真误差（误差）：真值与观测值之差称为真误差，用Δ表示： Δi=X-Li （i=1,2,…,n） 真值X客观上存在，实际上无法得到 一、误差来源 来源主要有以下三个方面：  1、测量仪器  每种仪器有一定限度的精度，因而观测值必然带有误差，如水准尺的分划误差；  同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差。  如：钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。  2、观测者:  由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数等方面都产生误差。  3、外界条件：  温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。 二、误差的分类： 根据观测误差对观测成果的影响性质，分为系统误差，偶然误差和粗差3种。  1、系统误差：   定义：在相同的观测条件下作一系列观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称“系统误差”。   举例：用一把名义为30m长、而实际长度为30.02m的钢尺丈量距离，每量一尺段就要少量2cm，该2cm误差在数值上和符号上都是固定的，且随着尺段的倍数呈累积性。 处理：利用尺长方程进行尺长改正。 1、系统误差  特点：符号、大小相同或按一定规律变化；          重复观测难以发现。          尽可能消除或限制到最小程度。 2、偶然误差： 定义：在相同的观测条件下进行一系列观测，如果误差出现的符号和数值大小都表现出偶然性，即从单个误差来看，该误差的大小及符号没有规律，但从大量误差的总体来看，具有一定的统计规律，这类误差称为偶然误差或随机误差。 原因：人力所不能控制的或无法估计的因素如经纬仪的照准误差、水准尺估读毫米误差。  特点：符号、大小不一致，表面没有规律；        抵偿性；        不可消除，不可避免的。 3、粗差：粗大误差 注意：  粗差：如读错、记错等。这主要是由于粗心大意或各种干扰引起。如瞄错目标、读错大数等；  粗差值大大超过系统误差或偶然误差。粗差不属于误差范畴，不仅大大影内测量成果的可靠性，甚至造成返工。  采取适当的方法和措施，可以避免粗差发生。  §6－2  偶然误差的特性     人们从无数测量实践中发现，大量的偶然误差的分布表现出一定的统计规律性。下面通过实例来说明这种规律性。  一、举例：   将358个Δi进行整理：   以Δ＝3”为区间长度进行分区；   统计各区间内误差的个数k ；   统计“误差出现在每个区间内的频率k/n（n为误差个数）”。 得到误差分布表 358个三角形内角和真误差分布表 频率直方图 从图表中可以看出偶然误差有如下特性： 1、范围：在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的数值（有界性），即： 偶然误差的正态分布的概率密度函数 当n→∞时，误差分布曲线表示了偶然误差出现的概率P，正态分布的概率密度函数描述为： §6－3 评定精度的指标 精度：一组误差分布的密集或离散程度。相同观测条件下，一组观测对应一种确定的误差分布（该组的每一观测值为同精度观测值），分布密集者精度高。 一、中误差： 根据离散度的大小可以衡量观测精度的高低，而方差正是反应离散度的数字特征。  举例 例：中误差的计算：下表为两组三角形内角和闭合差，试计算观测值的中误差。 2组三角形内角和闭合差 举例 结论：第一组观测结果精度高。 2种中误差的正态分布曲线 中误差的几何意义： 拐点的横坐标 二、极限误差：    定义：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值，这个限值就是极限误差。常以三倍的中误差为作为偶然误差的容许值（容许误差或限差），严格时，以2倍的中误差作为限差。     根据：误差出现在该区间的概率。   二、极限误差： Δ限=3m时，绝对值大于3倍中误差的偶然误差出现的概率仅有0.3%，几乎是不可能事件。 三、相对误差： 定义：中误差的绝对值与相应观测值之比。  §6－3   误差传播定律   AB水准路线分3段测量，则hAB=h1+h2+h3，如何由各段观测高差的中误差计算A、B两点高差的中误差？  定义：阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播定律。  一、线性函数 设线性函数z为：  z=k1x1+k2x2+…+klxl                      (1) x1，x2，…，xl独立观测值，其中误差分别为m1，m2，…，ml，k1，k2，…，kl为任意常数， 设x1，x2，…，xl分别含有真误差Δx1 ， Δx2 ， … ， Δxl 则：z+Δz=k1(x1+Δx1)+k2(x2+Δx2)+…+kl(xl+Δxl) (2) (2)-(1)得真误差关系式： Δz=k1Δx1+k2Δx2 + …+klΔxl 对x1，x2，…，xl均观测n次，有： Δz1=k1Δx11+k2Δx21 + …+klΔxll Δz2=k1Δx12+k2Δx22 + …+klΔxl2 .… Δzn=k1Δx1n+k2Δx2n + …+klΔxln  一、线性函数 (4)平方后求和，再除以n得:  一、线性函数 由上式可得到如下函数的误差传播定律表达式： 1、倍函数： 二、一般函数 由数学分析，函数的真误差和独立观测值的真误差之间的关系可以近似地用函数的全微分来表达。 求任意函数中误差的方法和步骤： 1、列出独立观测值的函数式： 举例 例1：测得圆形半径r＝1.465m，已知中误差m＝±2mm，求周长及周长中误差。 例2 丈量倾斜距离s＝50.00m，中误差ms＝±5cm，倾斜角度α＝15°00‘00“，其中误差mα＝±30“，求相应水平距离和中误差。 例3： Z=X+Y，Y=2X,    试根据X、Y的中误差计算函数Z的中误差。 §6－4 算术平均值及观测值的中误差 假设某一量真值为X，对其进行n 次同精度观测，观测值L1，L2 ，…，Ln，求其最可靠值，即最或然值。 一、算术平均值： 由偶然误差的第四特性 三、按观测值的改正值计算中误差 中误差的定义式： 公式推导 移项：   上式即为用改正数来求观测值中误差的公式，称为白塞尔公式。    §6－5  ? 加权平均值及其精度评定 一、不等精度观测及观测值的权 问题：从2已知水准点经2条不同长度的水准路线测定待定水准点，其精度如何评定？   二、加权平均值 某未知量的一组不等精度的观测值为L1，L2 ，…，Ln，其加权平均值作为该量的最或然值 加权平均值计算公式推导 计算观测值的改正数 当观测值等精度时： 三、定权的常用方法 按距离、水准路线长、测站数和测回数等确定权的值  水准测量的权  （1）按测站数（山区）：每个测站为同精度即 m站 则不同测站数的中误差为： （2）按水准路线长度定权（平地） 设每千米观测的精度相同，其

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