五年级奥数集训专题讲座（一） ----有趣的平均数问题
主讲：谭发佳
我们研究平均数问题，首先要掌握以下基本数量关系： ①总数量÷总份数=平均数 ②平均数×总份数=总数量   ③总数量÷平均数=总份数。在总数量不变情况下“移多补少”，得到平均数是解决这类题的重要思想和解题思路，找准总数量与对应的总份数是难点。
修路队修两条公路，第一条路长900米，用10天修完，第二条路的长比第一条的2倍多100米，用的时间是第一条的1.8倍，这个修路队，修完这两条公路平均每天修多少米？
分析：要想求出结果，就要先求出两条路的总长（总数量），再求出修完这条公路共需要的天数（总份数）和平均数。
解:(900＋900×2＋100)÷(10＋10×1.8) 
　＝2800÷28
　＝100(米)
答：修完这两条公路平均每天修100米。
例2. 一个水果店三种水果的单价平均是1.6元，已知香蕉比苹果贵0.2元，比柚子便宜0.5元，请你算一算每种水果的单价多少元。
分析：这是一道平均数问题逆向思考题，根据已知条件给出平均价钱是1.6元，这样就可以求出三种水果单价和的钱数，即1.6×=4.8（元），在此基础上再根据三种水果单价的数量之间的关系，运用假设思想求出问题的答案，可以用下面的线段图表示上述关系。
解：(1.6×3＋0.2－0.5)÷3
＝4.5÷3
＝15(元)
1.5－0.2＝1.3(元)
1.5＋0.5＝2(元)
答：香蕉单价是1.5元，苹果单价是1.3元，柚子的单价是2元。
想一想，如果假设和苹果单价一样多，该怎样列式？
例3.五名裁判给一名运动员评分，去掉一个最高分和一个最低分，平均得分9.58分；如果只去掉一个最高分，均分为9.46分；如果只去掉一个最低分，均分为9.66分。求这名运动员的最高得分和最低得分分别是多少？
分析:该题实质上是已知部分数的平均数,求个别数.依题意:去掉最高分和最低分后,该运动员的总得分为:9.58×3(分);去掉最高分后,该运动员的总得分为:9.46×4(分);去掉最低分后,该运动员的总得分为:9.66×4(分);因此,该运动员的最高分为:9.66×4-9.58×3=9.1(分)
例4．一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙地,到达乙地后,又以每小时60千米的速度从乙地返回甲地,求这辆汽车往返一次的平均速度.
分析:往返一次的平均速度=往返一次的总路程÷往返一次的总时间.这一数量关系是正确解答这道题的关键.
由于往返一次的总路程题目没有告诉我们,我们不妨假设甲地到乙地的路程为S千米.所以:
　S×2÷( S÷100+S÷60)   （请根据提示试着思考并解答）
我也能行
1．甲、乙两数的平均数是1.58，再加上丙则平均数是3.52，丙数是多少？
2．在爬山活动中，李林同学上山的速度为每小时0.24千米，6小时到达山顶，然后又以每小时0.4千米的速度沿原路下到山底，请算一算他上、下山的平均速度是多少
3．甲乙两数和是194，如果再加上丙数，这时平均数比甲乙两数平均数多2，丙数应是多少？
4．玲玲和明明的平均年龄是12岁，明明和林林的平均年龄是14岁，玲玲和林林的平均年龄是15岁，三人中年龄最大的是谁？最小的是谁？
5.甲、乙两数的平均数是3.21，丙数是2.64，若再加进丁，则四个数的平均数是3.6，丁是多少？
6.五个裁判给一个选手打分，如果去掉最低分，平均分是96.5分，如果去掉最高分，则该选手平均分是91.5分，请你算一算最高分与最低分相差几分？
7．小丁上学期数学测验前4次的平均成绩是88分，第五次测验后，平均成绩提高到90分，第五次他考了多少分？
8.有四个数，用其中三个数的平均数，再加上另外的一个数，按这样的方法计算，分别得到：28、36、42、46，那么原来四个数的平均数是多少？
四面年级奥数集训专题讲座（二）———盈亏问题
主讲：谭发佳
盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。例如：把一袋饼干分给小班的小朋友，每人分3块，多12块，；如果每人分4块，少8块，小朋友有多少人？饼干有多少块？
这种一盈一亏的情况，就是这们通常说的标准的盈亏问题。
标准盈亏问题的基本数量关系式：（盈+亏）÷两次分配之差＝参与分配对象总数； 每次分得的数量×份数＋盈＝总数量； 每次分得的数量×份数－亏＝总数量
还有一些非标准盈亏问题，如：
1、两盈：两次分配都有余。数量关系式为：（大盈－小盈）÷两次分配差＝参与分配对象总数
2、两亏：两次分配都不够。数量关系式为：（大亏－小亏）÷两次分配差＝参与分配对象总数
    例1：（一盈一亏问题）一个植树小组，如果每人植5棵，还剩14棵；如果每人植7棵，就缺4棵。这个植树小组有多少人？一共有多少棵树？
    分析：由题意可知，植树的人数和棵数是不会变化的，只是两次分配的方案不一样，结果就差了18棵，即第一种方案的结果比第二种多18棵，这是因为两种分配方案每人植树棵数相差7-5＝2（棵），所以根据一盈一亏解答此题就非常简单了。
   人数：（14＋4）÷（7－5）＝2（人）   棵数：5×9＋14＝59（棵）          
答：这个植树小组一共有9人，一共有59棵树。
     【巩固练习1】：幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分2个，则剩下20个；如果每人分3个，则差40个。幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个积木？
例2：（两亏问题）学校将一批铅笔奖给三好学生。如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支。三好学生有多少人？铅笔有多少支？
	   分析：这是两亏问题，由题意可知，三好学生人数和铅笔支数是不变的。根据两亏关系可知
人数：（45－7）÷（9－7）＝19（人）  铅笔：9×19－45＝126（支）
答：三好学生有19人，铅笔有126支。
      【巩固练习2】：将月季花插入一些花瓶中。如果每瓶插8朵，则缺少15朵；如果每瓶改为插6朵，则缺少1朵，求花瓶的只数和月季花的朵数？
例3：（两盈问题）有一些少先队员到山上种一批树。如果每人种16棵，还有24棵没种；如果每人种19棵，还有6棵没有种。问有多少名少先队员？有多少棵树？（根据两盈问题请自己分析解答）
例4：（盈亏转化）学校给一批新入学的学生分配宿舍。如果每个房间住12人，则34人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4个房间。求学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？
	分析：“把每个房间住14人，则空出4个房间”转化为“每个房间住14人，则少14×4=56（人）后，就得到标准盈亏问题，这样就好解答了。
	房间数：（34＋14×4）÷（14－12）=45（间）  人数：12×45＋34=574（人）
                                   答：学生宿舍有45间，学生有574人。
我也能行
1、某班安排宿舍，如果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10个床位。问有宿舍多少间？学生多少人？
2、王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。如果每人发5张，则少32张；如果每人发3张，则少2张。美术兴趣小组有多少名同学？王老师一共有多少张图画纸？
3、小虎在敌人窗外听里边在分子弹：一人说每人背45发还多260发；另一个说每人背50发还多200发。求有多少敌人？有多少发子弹？
4、崔老师给美术兴趣小组的同学分若干支彩色笔。如果每人分5支则多12支；如果每个人分8支还多3支。请问每人分多少支刚好把彩色笔分完？
5、某校有若干个学生寄宿学校，若每一间宿舍住6人，则多出34人；若每间宿舍住7人，则多出4间宿舍。问宿舍有多少间？住宿学生有多少人？
6、学校分配学生宿舍。如果每个房间住6人，则少2间宿舍；如果每个房间住9人，则空出2个房间。问学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？
7、小强从家到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟，如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校。小强从家到学校的路程是       米（选自北京市第四届“迎春杯”刊赛）
   8、买来一批苹果，分给幼儿园大班的小朋友。如果每人分5个苹果，那么还剩      余32个；如果每人分8个苹果，那么还有5个小朋友分不到苹果。这批苹果的个数是_____。选自小学数学奥林匹克预赛A卷
五年级奥数集训专题讲座（三）———倍数问题
主讲：谭发佳
倍数问题是整个小学阶段很重要的一个问题，我们研究倍数问题主要从“和倍、差倍、和差”这三个方面来研究。解答倍数问题我们要理解以下数量关系式：
①和÷（倍数＋1）=小数   小数×倍数=大数（和—小数=大数）
②差÷（倍数—1）=小数   小数×倍数=大数（小数＋差=大数）
③（和－差）÷2=小数     小数＋差=大数（和—小数=大数）
④（和+差）÷2=大数      大数－差=小数（和—大数=小数）
例1：三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑多少米？
分析：把乙队的米数看作“1”份，甲队筑的米数是这样的2份，假设丙队多筑240米，三个队共筑了1360+240=1600（米），正好是乙队的4倍，所以用和倍问题来解答就很容易了。
乙队：（1360+240）÷（2+1+1）=400（米）甲队：400×2=800（米 丙队：400－160=240（米）
                          答：甲队筑了800米，乙队
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