四 约数与倍数(A)
            年级      班      姓名      得分     
    一、填空题
    1．28的所有约数之和是_____.
    2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法.
3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数字的积是24.这个两位数是_____.
4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人.
5. 两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是_____.
6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个.
7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_____块.
8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料)_____块.
9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个,又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得10元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个.
10. 含有6个约数的两位数有_____个.
11．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但两两均不互质，请问有多少组这种解？
12．和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？
13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔米设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米?
14. 已知a与b的最大公约数是12,a与c的最小公倍数是300,b与c的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a,b,c共有多少组?
(例如:a=12、b=300、c=300，与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组)
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答  案:
1． 56
28的约数有1,2,4,7,14,28,它们的和为
        1+2+4+7+14+28=56.
2.  4
因为105的约数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.
3.  64
因为28=227,所以28的约数有6个:1,2,4,7,14,28.在数字0,1,2,…，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=2，8-3=5.
故符合题目要求的两位数仅有64.
4.  28
因为667=2329,所以这班师生每人种的棵数只能是667的约数:1,23,29,667.显然,每人种667棵是不可能的.
当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.
当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.
当每人种1棵树时,全班人数应是667-1=666,但666不能被4整除,不可能.
所以,一班共有28名学生.
5.  40或20
两个自然数的和是50,最大公约数是5,这两个自然数可能是5和45,15和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填40或20.
[注]这里的关键是依最大公约数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.
6.  36,1,3.
要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的约数，又要是108的约数，即一定是36和108的公约数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公约数.36和108的最大公约数是36,也就是可分给36个小朋友.
每个小朋友可分得梨: 3636=1(只)                  
每个小朋友可分得桔子: 10836=3(只)
所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.
7.  56
剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是48与42的公约数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48与42的最大公约数.
因为48=22223,42=237,所以48与42的最大公约数是6.这样,最大正方形的边长是6厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7块,共可剪(486)(426)=87=56(块)正方形布片.
    8.  200
根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除,即正方体的棱长是180,45和18的公约数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公约数.180,45和18的最大公约数是9,所以正方体的棱长是9厘米.这样,长180厘米可公成20段,宽45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.这根木料共分割成(1809)(459)(189)=200块棱长是9厘米的正方体.
9.  150
根据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元钱卖出15个苹果,这样,他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.
10.  16
含有6个约数的数,它的质因数有以下两种情况:一是有5个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M表示含有6个约数的数，用a和b表示M的质因数，那么
    或
因为M是两位数，所以M= a5只有一种可能M=25，而M= a2b就有以下15种情况：
，
，
    ，
    ，
.
所以,含有6个约数的两位数共有
15+1=16(个)
11.  三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公约数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.
12.  四个数的最大公约数必须能整除这四个数的和,也就是说它们的最大公约数应该是1111的约数.将1111作质因数分解,得
              1111=11101
最大公约数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有
              1+2+3+5=11,
即存在着下面四个数
        101,1012,1013,1015,
它们的和恰好是
       101(1+2+3+5)=10111=1111,
它们的最大公约数为101.
所以101为所求.
13.  黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是与的“最小公倍数”，即跳了=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是和的“最小公倍数”，即跳了=11次掉进陷井.
经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是9=40.5(米).
14.  先将12、300分别进行质因数分解：
                 12=223
                300=22352
(1)确定a的值.依题意a只能取12或125(=60)或1225(=300).
(2)确定b的值.
当a=12时,b可取12,或125,或1225；
当a=60,300时，b都只能取12.
所以,满足条件的a、b共有5组：
a=12      a=12       a=12        a=60       a=300
b=12,     b=60,      b=300,      b=12,      b=12.
(3)确定a,b,c的组数.
对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：
52，522，5222，523，5223，52223，即25，50，100，75，150，300.
所以满足条件的自然数a、b、c共有56=30（组）

五年级奥数题：约数与倍数(A).doc