第六章 数 列
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第1讲 数列的概念
★ 知 识 梳理 ★
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.
2.通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即. 
3.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，，其中是数列的递推公式.
4.数列的前项和与通项的公式
①；  ②.
5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.
6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.
①递增数列:对于任何,均有.
②递减数列:对于任何,均有.
③摆动数列:例如: 
④常数数列:例如:6,6,6,6,…….
⑤有界数列:存在正数使.
⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得.
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：理解数列的概念和几种简单表示方法；掌握数列的通项公式的求法.
2.难点：用函数的观点理解数列.
3.重难点：正确理解数列的概念，掌握数列通项公式的一般求法.
求数列的通项、判断单调性、求数列通项的最值等通常应用数列的有关概念和函数的性质.
问题1：已知是数列的前项和，，则此数列是(    )
A.递增数列      B.递减数列       C.常数数列         D.摆动数列
分析：将已知条件转化为数列项之间的关系，根据数列单调性作出判定.
解析：，
两式相减，得，
当时，，，选C.
问题2：数列中，，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是(    )
A.      B.       C.         D. 
分析：由已知条件判定数列单调性，注意的取值范围.
解析：，
时，递减；时，递减.结合图象，选C.
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1 数列的通项公式
题型1 已知数列的前几项，求通项公式
【例1】求下列数列的一个通项公式：
⑴
⑵
⑶
⑷
【解题思路】写出数列的通项公式，应注意观察数列中和的联系与变化情况，应特别注意：自然数列、正奇数列、正偶数列，和相关数列，等差、等比数列，以及由它们组成的数列，从中找出规律性，并分别写出通项公式.
【解析】⑴联想数列即数列，可得数列的通项公式；
⑵将原数列改写为分母分别为分子分别为
呈周期性变化，可以用，或，或表示.
（或，或）
⑶分子为正偶数列，分母为得 
⑷观察数列可知：
本题也可以利用关系式求解. 
【名师指引】⑴联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法.
⑵求数列的通项公式，应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确，以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多，应注意对每一数列认真找出规律和验证.
题型2 已知数列的前项和，求通项公式
【例2】已知下列数列的前项和，分别求它们的通项公式.
⑴；  ⑵.
【解题思路】利用，这是求数列通项的一个重要公式.
【解析】⑴当时，，
当时，.
当时，，.
⑵当时，，
当时，.
当时，，.
【名师指引】任何一个数列，它的前项和与通项都存在关系：
若适合，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.
题型3 已知数列的递推式，求通项公式
【例3】数列中，，求，并归纳出.
【解题思路】已知的递推公式求前几项，可逐步计算.
【解析】，
，，，，
由，可以归纳出.
【名师指引】由递推公式求通项，可以考虑“归纳—猜想—证明”的方法，也可以构造新数列.
【新题导练】
1.已知有穷数列：，其中后一项比前一项大2.
⑴求此数列的通项公式；
⑵是否为此数列的项？
【解析】⑴设数列的第项为，则
令，故该数列的通项公式
 ⑵令，解得，
， 不是有穷数列的项.
2.数列中，，求的值.
【解析】由，得
当时，；当时，
两式相除，得.，.
3.数列中，，求，并归纳出.
【解析】
，，，
由，可以归纳出
考点2 与数列的通项公式有关的综合问题
题型1 已知数列通项公式，求项数及最大（最小）项
【例4】数列中，.
⑴是数列中的第几项？
⑵为何值时，有最小值？并求最小值.
【解题思路】数列的通项与之间构成二次函数，可结合二次函数知识去探求.
【解析】⑴由，解得，
       是数列中的第项.
⑵，
  或时，.
【名师指引】利用二次函数知识解决数列问题时，必须注意其定义域为正整数.
题型2 已知数列通项公式，判断数列单调性及有界性 
【例5】数列中，.
⑴求数列的最小项；
⑵判断数列是否有界，并说明理由.
【解题思路】⑴转化为判断数列的单调性，即证，或；⑵从“数列的有界性”定义入手.
【解析】⑴
，数列是递增数列，数列的最小项为.
⑵，数列有界.
【名师指引】数列是特殊的函数，判断函数的单调性、有界性的方法同样适用于数列.
【新题导练】
4.数列中，，求取最小值时的值.
【解析】，时，取最小值.
5.数列中，，求数列的最大项和最小项.
【解析】，
又，，数列是递增数列
数列的最小项为，没有最大项.
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基础巩固训练
1.设数列，则是这个数列的（    ）
A．第9项       B．第10项       C．第11项     D．第12项
【解析】C．，选C．
2.(2008年华师附中)数列的前项和为，且，则数列的首项为（    ）
       A．或     B．          C．         D．或
【解析】D．中令，得，或
3.(2009恩城中学)已知定义在正整数集上的函数满足条件：，,
,则的值为（   ）
	 A．－2	          B． 2	        C．4	          D．－4
【解析】B．利用数列的周期性，周期为4，
4.数列中数值最大的项是第        项.
【解析】3
5.(2009恩城中学文)观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，则可得出一般结论                                .
【解析】
6.数列中，，，则的值是（    ）
       A．         B．           C．          D．
【解析】C．利用数列的周期性，除前4项后，周期为6，
综合拔高训练
7.(2009恩城中学节选)已知数列的首项，其前项和．求数列 的通项公式．
【解析】由，，①   ∴，②
①－②得：，即，，            
∵，∴．
8.设数列的第项是二次函数，，求.
【解析】设，由
，.
9.数列中，.
⑴求这个数列的第10项；
⑵是否为该数列的项，为什么？
⑶求证：； 
⑷在区间内有无数列的项，若有，有几项？若无，说

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